2连杆行星齿轮机构位移协调原理的研究
2.1引言
现有机构受力分析主法要求机构满面足静定条件，从而可按刚体力学原理进行分析。然而，当机构中存在虚约束时，运动链不再满足静定条件，机构的受力分析无法则刚体力学的方法完全确定。这种机构称为静不定的过约束机构。过约束机构的计算自由度（计入虚约束）小于实际自由度。
对于连杆行星齿轮传动机构来说，为了克服机构“死点”，一般是采用多相并列双曲柄平行四边形机构或多曲柄平行四边形机构作为输入机构的。因此，它是多次静不定的过约束机构。要完全确定机构的约束动反力，必须寻求与其静不定次数相同数目的位移协调补弃方程。过约束机构的静不定次数与运动构件数，运动副类型及其数量等有关。对于少齿差连杆行星齿轮传动机构，由于接触承载轮齿对数因与载荷 大小，机构的运转工况角的周期函数。因此，城要增加的机构位移协调方程也是工况角的函数。
建立连杆行星齿轮传动机构的位移协调节器补充方程时，应根据机构变形几何条件，求出构件、组合构件、以及机构等到的位移协调关系。由于机构构件之间不可避免的存在着运动副间隙或各种误差，使具有刚性链的连杆行星齿轮过约束机构的动态性能受到很大的影响。因此，在建立机构位移协调节器方程时，应尺可能将这些因素考虑进去。目前，几乎还没有人涉及过约束机构领域，对具有误差、间隙的机构更是无公开文章发表。本章对过约束机构的静不定次数进行研究，考虎机构间隙（或误差）的位称协调关系，进而对连杆行星齿轮机构的位移协调原理进行深入，系统的研究，提出该类传动机构的位移协调条件。
2.2 过约束机构的静不定次数
在考虑过约束机构的补充方程时，应首先确定机构的静不定次数。
对一个任意的空间机构，如果有N个运动构件，就能列出6N个动力分析方程，即可以求解确定6N个未知量。示知量的数量可以由以下两部分确定：其一是运动副中的约束反力未知分量和反力矩未知分量数；其二是作用在输入构件上的输入力或输入力偶矩。一个运动副如沿某轴线有相对移动自由度，则沿该轴线的约束反力分量为0，如绕某轴线有相对转动自由度，则沿该轴线的约束反力矩为0。因此，当一运动副的级别为k时，其约束反力的分量数为pk·k，设每一输入构件作用一输入力或力矩，则输入构件上的未知力数为W，因而未知量总为
M=W+Σ5k=1k·Pk （2-1）
当机构是具静力确定性的静定系统时，未知量总数应与基本方程式数目相等，即
M=6N （2-2）
W=6N-Σ5k=1k·Pk （2-3）
式（2-3）就是机构的自由度计算公式。
当机构为过约束机构时，未知量总数大于基本方程式数目，即
W+Σ5k=1k·Pk＞6N （2-4）
将上式变为
6N-Σ5k=1k·Pk＜W （2-5）
式（2-5）的左边为计入所有构件及运动副的计算自由度，右边W为实际自由度，设守约束机构的静不定次数为S，由式（2-4）或式（2-5）可得
S=W-(6N-Σ5k=1k·Pk) （2-6）
由此可知，当S=0时为静定机构，当S＞0时为静不定机构（过约束机构）。
平面过约束机构的静不定次数可表示为
S=W-(3N-2P+E) （2-7）
式中P为低副数目，E为高副数目。
若一个多相多曲柄并列连杆行星齿轮传动机构有m根高速轴、n片行星齿板，第j片行星齿板与输出外齿轮参加接触承载的齿对数为Z(j)，则由式（2-7）求得其静不定次数为
S=1-{3(m+n+1)-2[m(n+1)+1]Σnj=1Z(j)} （2-8）
当m=2时，得多相并列双轴式的连杆行星齿轮传动机构的静不定次数
S=n-2+Σnj=1Z(j) （2-9）
三环减速器的静不定次数为
S=1+Σ3j=1Z(j) （2-10）
由式（2-8）时，多相并列多曲柄连杆行星齿轮传动机构的静不定次数与行星齿板数n、高速数m以及各相齿板与输出齿轮的接触承载齿对数Z(j)有关。
2.3 机构构件的位移协调原理
研究连杆行星齿轮过约束机构的位移协调原理，应从构件的位移关系入手。构件上点的位移除变形位移外，组合构件还包括由运动副间隙引起的刚体位移。构件上点的位移关系就是构件满足的位移协调条件。
2.3.1 单个构件的位移协调原理
设一构件ab在外力作用下，产生微小位移（包含刚体位移和弹性变形位移），如图2-1所示。
ab为L，与水平坐标轴的夹角为θ0，构件上α、B两点在受力后移位到a′、b′。
式中u-b、v-b是构件上b点的位移；
ua、va是构件上基点a的位移；
uba、vba是构件上两点a、b相对变形位移；
θ是构件b点绕基点a的微小角位移。
式（2-17）就是构件上任意两点的位移协调原理，其意义为构件在外力作用下，产生微小刚体位移和弹性变形位移时，其上某点的位移是所选参考点的位移（平动位移）、与该点绕参考点转动的角位移以及与考虑点之间的相对变形位移的合位移。
2.3.2组合构件的位移协调原理
由于构件与构件之间存在运动副间隙，因此组合构件上任意两点之间的位移关系，可能包括有间隙位移在内。
根据式（2-17）及式（2-24）可以对连杆行星齿轮传动机构的位移协调原理进行研究。
2.4连杆行星齿轮机构的位移协调原理
国科2-3所示为一多相并列连杆行星齿轮过约束机构。为了得到与静不定次数相对应的S个补充方程，必考虑各构件间、各相机构间、以及多齿承载的位移协调要求，这是分析具有多余联系体系受力的一般方法。为此，可先将机构转化为受力、变形等效的结构（几何不变体系），然后用结构力学的方法分析系统、构件位移协调的条件。
在任意时刻t，用一假想刚性连架杆d（图中虚线）与输入高速轴的某相曲柄OA相连，则原机构变成一个几何不变体系（即承受载荷的，不会产生机械运动的结构）。由此体系沿连架杆方向取∑Fd=0的条件可行Rd=0,即增加连架杆并不影响原机构的受力和变形，只不过为研究各相机构及各构件的变形引起的位移提供了一个相对基准。
2.4.1各构件间的位移协调原理
设多相并列连杆行星齿轮传动机构在外力作用下，由于运动副间隙及构件的变形，各构件相对其理论位置产生微小位移。取机构的某相子机构为分离体（2-24）用上节介绍的构件位移关系来研究各构件间的位移协调条件。
1.行星齿板上各高速轴孔中心位移
以p点参考点由式（2-17）得
2.偏心套中心位移
由式（2-22）可以将齿板的位移变换为偏心套中心的位移
3.各轴中心位移
各高速轴中心与偏心套中心之间的位移关系为
2.4.2各相机构间的位移协调原理
研究各相机构之间的位称协调原理，就是找出各相机构之间位移满足的关系。取整个机构为研究对象，把它看作是具有广义间隙的多相子机构系统组成的闭环弹性机构。若将各构件用弹簧代替，则该闭环弹性机构可表示为图2-5所示的弹簧系统模型。图中各轴是理想的刚性轴。为便于理解可用图2-6所示的等效并联平面弹簧系统来表示。
图中
K(j)i是高速轴i及其轴上的偏心套、轴承等综合刚度，i=1，2，…，m；
K(j)i-1是高速轴i-1及其轴上的偏心套、轴承等综合刚度；
K(j)b是齿板的综合刚度；
K(j)o是输出轴及轴上齿轮等综合刚度；
r(j)k是机构中各间隙值，k=1，2，…。
机构的变形主要有各轴的弯曲、扭转变形、偏心套、轴承、行星齿板及输出齿轮等的弹性变形。下面用分析弹簧系统变形的方法来寻找各相机构之间的位移关系。
式中△β(j)z0是输出轴第j相轴段的扭转角位移。
△β(j)e0齿轮分度误差。
将式（2-36）及式（2-37）代入式（2-35）就能得到（N-1）m个机构的位移协调补充方程。
2.4.3多齿承载的位移协调原理
在运转过程中的少齿差连杆行星齿轮传动装置，不处于啮合位置的齿对，在进人啮合之前及在脱离啮合之后，其内外齿廓间的间隙非常小。在传递载荷过程中，轮齿的变形量要大于一部分齿对的间隙，这些齿对就要接触并同时分担载荷，形成多齿接触承载传动。在额定载荷下，实际接触齿数有时候远大于理论重合度。
在某刚侧t，如某相行星齿板与低速轴齿轮实际接触承载的齿对数为Z(j)，而各对齿对在机构受载前的法向理论间隙为J(j)K，则某对齿沿齿廓的法向总位移为：
δ(j)nk=δ(j)npk+J(j)K （2-38）
式中k=1，2，…，Z(j)；
δ(j)nk是机构受载后某齿对从非接触状态到接触承载，其接触点的位移；
δ(j)npk是齿对接触后产生的位移，等于两接触齿的变形位移之和：
δ(j)npk=δ(j)nbk+δ(j)nok （2-39）
其中δ(j)nbk是连杆行星齿板总变形引起其上接触齿接触点的位移；
δ(j)nok是输出齿轮接触齿接触点的位移。
在多齿接触区，每对接触承载齿的法向总位移是相等的，即有
δ(j)npk+J(j)k=C(j)(常数) （2-40）
式中k=1，2，…，Z(j)；
C(j)为各相的常数。
式（2-40）就是少齿差连杆行星齿轮传动初哟多齿接触承载的位移协调条件。用于多相并列少齿差连杆行星齿轮传动机构时，由此消去C(j)后可列出Σni=1(Z(j)-1)个补充方程。
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