文献[1]运用“向量回转”的数学方法，对共轭图形间的接触状况进行了详细分类，并论述五类问题的基本求解方法。其核心就是根据接触点应满足的条件及不同的接触点状态和曲面的基本形态，推导出特定的微分方程进行求解。

啮合原理是针对啮合传动的特点，研究共轭曲面问题，它以共轭曲面的基本原理为根据，着重研究共轭曲面的求解、确定两类界点、计算滑动率和诱导法曲率等与啮合传动特性密切相关的内容。常见的共轭曲面求解方法有齿廓法线法、包络法、X.и.ГoxMaH法和运动学法^[2]等等。

在齿轮啮合原理中被称为Willis定理的平面啮合基本定理认为：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。齿廓法线法就是以Willis定理为依据的平面啮合的共轭曲面求解方法。它具有直观、容易理解和求解方便的特点，尤其适合于定速比传动，即啮合节点位于连心线上固定位置的平面啮合求解。

包络法是根据包络理论求解包络面的一种方法。参与啮合的一对齿面在传动中应当彼此连续接触，在相对运动中它们互为包络曲面。由微分几何知识可知，包络面和被包络面在瞬时接触线的各个点处有公切面和公法线。根据这个理论，通过特定的坐标变换，就能求出已知曲面的包络面方程和啮合面方程。包络法思路清晰，易于理解。但由于它是纯微分几何的方法，没有考虑运动学因素，因此求解过程比较繁复。N.и.ΓoxMaH法是一种改进的包络法，其特点是能够在与任何一个曲面相固连的坐标系中求出瞬时接触线，这样就可以选取使问题变得最为简单的坐标系进行求解，而没有必要经过变换和逆变换来求解。

运动学法以共轭接触点应满足的条件为根据,推导出共轭曲面啮合方程,再由空间坐标的转换关系求解出啮合面方程和共轭齿面方程。因在共轭接触点处相对运动线速度矢量沿法线矢量方向的分量为零，若设接触点处两齿面的公法线矢量为n，相对运动速度矢量为v⁽¹²⁾，则有

n·v⁽¹²⁾=0

这就是运动学法的共轭曲面啮合方程。它表达了曲面的几何参数与运动参数之间的关系。由此关系和空间坐标的转换关系便可求解出任一坐标下的接触线方程，即可求出啮合面方程和共轭齿面方程。由于运动学法利用了运动学方法求解相对运动来解决共轭曲面问题，使求解过程更为简捷明了，便于掌握和运用，因此成为共轭曲面解法的主流方法。

1.1.2 轮齿修形

轮齿修形的目的，是在弹性变形条件下，使轮齿载荷分布均匀，减小传动误差，从而提高齿轮的承载能力和传动精度、减小冲击、降低噪声^[10-63]，其研究主要是针对多齿啮合的过渡状态。在多齿啮合的啮入和啮出过程中，接触齿以所承受的载荷要发生变化，轮齿的弹性变形亦随即发生变化；同时，由于弹性变形的影响，轮齿基节发生变化，轮齿的啮入和啮出位置与在刚性情况下不同。这就造成当主动轮作等速回转时，从动轮的运动是不等速的，它一边转动一边作周向振动，而且其位置要比不考虑弹性变形时的理论位置滞后一个角度。由以上分析可知，即使对于理想的无误差齿轮啮合，其载荷分配系数和从动轮滞后角也会产生较大的阶跃式变化。为了获得较平稳的传动，要求从动轮滞后角的变化幅度为最小。还要求载荷分系数不要有阶跃式变化，至少变化应比较平稳。要达到此目的，就必须对齿廓进行修形，使其满足某种给定的载荷分配系数和从动轮滞后角的变化规律。修形曲线不仅与齿轮所受载荷有关，而且与选定的载荷分配系数和从动轮滞后角的变化规律有关。考虑加工条件等因素的影响，可以选择不同的修形曲线和修形位置。从以往的研究来看，以齿顶和齿根修形居多，这就是齿轮的齿廓修形。齿轮的齿向修形是为了改善由于轴系变形和安装误差而产生的偏载现象。载廓修形和齿向修形技术都已分别有比较成熟的手段。但齿廓修形和齿向修形存在严重的相互干扰，分别设计齿廓修形和齿向修形，然后机械地叠加在一起的方法已不能满足要求。随着有限元、边界元方法的应用和试验手段的发展，近年来，出现了用拓扑学方法计算齿面修形^[19][23]和三维有限元与数学规划相结合^[22]的三维修形的研究。三维修形CNC磨齿机的出现也给三维修形的加工提供了技术手段。文献[63]介绍了用实验的方法研究斜齿轮修形，避开复杂的理论计算，根据传动的外特性确定修形位置和修形量，这也是一种独特的齿轮修形研究方法。

以往的修形研究多为针对不同的啮合传动形式进行单一对象的研究，缺乏统一的理论和方法。

1.1.3 弹性共轭曲面原理的意义

考虑变形对传动影响的研究日益深入，但对于因弹性变形造成的齿面的非共轭性问题还很少进行研究。在啮合的非多齿啮合过渡状态，齿面的弹性变形同样使传动产生一定的不平稳性。某些新型的传动形式（如针轮套筒活齿少齿差传动等），以刚性条件下的啮合理论分析，它们是非连续定速比的，但由于弹性变形的作用，它们不仅是连续的，而且还是十分平稳的。

在机械加工中，零件表面的形成就是一个共轭曲面形成的过程，尤其在复杂型面的加工中，这一过程表现为多自由度的共轭运动。加工过程中，工艺系统在切削力作用下将产生弹性变形，为了加工出满足一定精度要求的表面，这个加工成形的研究也需要考虑弹性变形的影响。

传统的共轭曲面原理是在将共轭曲面视为刚体的条件下进行研究的。而在现实的机械加工和机械传动中，其成对相互作用的几何图形并非刚体，它们必然在受力时产生一定的弹性变形，这就导致它们运动间的内在联系和相互转换规律与作为刚体时不同。这个偏差反映到机械传动中就是载荷分布规律和运动特性等等的变化；反映到机械加工中就是曲面成形的误差。随着机械传动朝着高速、重载、高效、低噪声方向发展，机械加工朝着高精度、高效率方向发展，它们的研究都需要弹性共轭曲面理论作指导。但有关弹性共轭曲面原理的理论研究，至今还未见有公开发表的文献。

因此，为适应现代机械工业发展的现实需要，在现有的研究成果的基础上，打破传统理论的束缚，研究在弹性变形条件下成对几何图形及其运动间的内在联系和相互转换规律，建立对机械设计和制造具有普遍指导意义的弹性共轭曲面理论，具有重大的理论意义和现实意义。该项研究符合“扎扎实实发展机械制造共性基础技术，提高质量和水平，不断更新和提高机械设计理论和方法，更新设计规范和准则……”^[64]的先进制造技术发展道路的需要。

1.2 鼓形齿联轴器概述

鼓形齿联轴器（结构如图1-1所示）是机械传动的重要基础部件，它是在直齿齿轮联轴器基础上为满足大倾角、变化倾角、大传递转矩、小尺寸、高可靠性等要求发展起来的。它已在冶金、采矿、化工、起重运输等机械设备中广泛应用^[65-67]。尤其是在冶金设备中更是大量采用。如武钢引进的一米七轧机系统中装机量达2500套。国际上一些工业发达国家五十年代就有鼓形齿联轴器的应用。我国近十几年来从国外引进的成套和单机设备中大量采用了鼓形齿联轴器。国内虽在六十年代开始在轧机主传动上应用了鼓形齿联轴器，但是设计制造技术落后，没有广泛推广应用。近十几年来，国内一些厂家为了满足从国外引进设备的鼓形齿联轴器的进口设备备件需要，通过消化吸收引进技术，进行批量仿制鼓形齿联轴器，同时进行较深入的机理研究^[69-79]。但未建立一套自己的完整合理的设计方法，制造技术也较落后。

由于鼓形齿联轴器具有突出的优点，在国际上一些工业发达国家，五十年代就开始取代直齿齿轮联轴器。前苏联、德国、日本等国家在理论研究上也开展较早。国内是从引进设备部件测绘仿制开始研究的。原西德的H.BENKLER博士对鼓形齿联轴器作了几何学和力学的理论分析，进行了计算公式的推导，成为不很完善的设计理论和设计方法并得以应用^[68]。其运动学是简化为平面运动分析的；其力学方面是基于静载荷情况分析的；关于鼓度曲线方面未加研究。而鼓形齿联轴器本身的运动状态是复杂的空间运动，其存在的非匀速转动将产生动载荷和振动等问题；鼓度曲线直接影响鼓形齿面的曲率、齿接触状况、齿啮合对数、齿侧间隙、齿面相对滑动、载荷分布等多项啮合特性。因此，还存在着许多需要进一步探究的设计理论问题，包括运动学、动力学、齿轮几何参数等方面。德国学者R.HEINZ认为：“到目前为止，关于齿轮联轴器的啮合过程还没有可靠的根据和完整的论述。而这个工作的难点就在于对齿轮运动学的解释和对运动时载荷分布的解释。”

1.2.1 设计方面

鼓形齿联轴器传动原理如图1-2所示。鼓形齿联轴器的内齿轮为一直齿内齿轮。外齿轮是齿顶面为一球面的鼓形齿轮。根据外齿轮齿面产生方式的不同，外齿轮又分为共轭齿面鼓形齿轮和非共轭齿面鼓形齿轮。由于鼓形齿轮加工工艺的关系，现使用的鼓形齿联轴器多为非共轭齿面外齿轮的鼓形齿联轴器。共轭齿面的鼓形齿齿面由与内齿轮共轭的加工方式产生；非共轭齿面的鼓形齿齿面相当于在不同端截面逐渐变位的一系列齿轮片相迭而成，变位量与轴向坐标形成的曲线称为鼓度曲线。鼓度曲线是鼓形齿联轴器特有的重要几何参数，现所用的多为一段圆弧，也有用三段圆弧的，这些圆称为位移圆。在圆弧鼓度曲线中，有位移圆中心在齿轮轴线上的，有不在轴线上的；有位移圆中心与齿顶球面中心重合的，也有不同中心的。鼓度曲线的设计无统一理论方法，通常是一经验设计。究竟采用哪种曲线，有不同的考虑方面，总的待定要求是：（1）在轴间倾角处于最大时不出现棱边接触现象；（2）轮齿集中载荷越小越好，而齿面曲率与位移圆曲率成正比，因此位移圆半径r_g应尽可能大。鼓度曲线曲率半径与内齿单侧减薄量成正比关系，即它与齿的啮合间隙有关，减薄量不足时可能造成干涉，减薄过多则削弱齿的强度且侧隙太大。

鼓形齿联轴器的运动状态是复杂的空间运动。现有资料均把它简化为展开的平面运动进行分析，在有轴间倾角的状态下，将运动分为齿的摆动运动和翻转运动。这两种运动在啮合半周中经历纯摆动—复合运动—纯翻转—复合运动—纯摆动的循环运动过程，如图1-3所示。纯摆动—纯翻转的相位差为90°。在非纯摆动和纯翻转运动过程中，内外齿的相对运动是摆动运动和翻转运动的复合运动^[68]。显然这种简化分析方法是很粗略的，无法确切地描述空间啮合状态，但是它对于分析齿向位移、棱边卡死现象及说明某一轮齿所处周向位置是有意义的。

在非共轭齿面鼓形齿联轴器具有轴间倾角的传动中，存在着非匀速转动。这种非匀速运动在高速转动中将产生很大的周向冲击^[80]，成为传动中的附加动载荷，这是不容忽视的。由于空间运动非常复杂，以往多数是以空验方法研究附加载荷的影响^[80-82]，主要是研究它的振动外特性、找出与此有关的一些因素，尤其是影响临界速度最大的因素。根据研究发现，附加载荷是谐波分布的，消除或者减小这一附加载荷，对于改善动态特性，提高临界转速是非常有意义的，而这又与运动特性是密切相关的。

同其他齿轮传动一样，设计时要计算校核齿面接触应力和齿根弯曲应力。由于对接触齿对数及载荷分布很少研究，这两项应力无法求出精确的值。在齿面接触应力的计算中，一般作无轴线偏移简化，按赫兹公式计算出齿面接触应力，用偏载系数予以修正。由于鼓形齿联轴器的工作条件与一般齿轮传动不同，许用应力也难于取得合适的值。其许用接触应力在分析试验的基础上，参照国外所用的许用值，通常只能取一般齿轮传动的1/4～1/4.5，大模数的尤其要打折扣^[83]。齿根应力一般以一半齿对平均受力进行强度校核，因此也是很粗略的^[84][85]。

还有许多影响齿轮联轴器寿命的其他因素，如材料及热处理、整体重量、润滑条件、安装和运行环境等等^[86-87]。材料是重要的因素，一般采用合金钢表面氮化处理，可使联轴器具有高速、高承载能力、高传动效率和长寿命^[82]。联轴器整体重量越轻，作用在联轴器上的惯性力和附加动载荷则越小，很显然，联轴器的轻型化是有利于提高寿命的^[89]。鼓形齿联轴器对润滑状态十分敏感，不良的润滑往往使联轴器在短时间失效。虽然这些因素影响齿轮联轴器寿命，但不是本文的研究重点，因此不加以详述。

由于鼓形齿联轴器的轮齿参数对传动特性的影响还有待于进一步研究，国内外的联轴器标准均未给出轮齿的设计参数，如国内的ZB J19 012-89/ZB J19 013-89、ZB J19 014-89^[90]，美国的AGMA 516.01-78，日本的JIS B 1453-84，俄国的ΓOCT 506-83E等^[91]。

为了设计出具有更高承载能力和更长工作寿命的鼓形齿联轴器，就需要对鼓形齿联轴器进行全面深入的运动和力分析，研究其啮合运动规律和特性。通过选择恰当的鼓度曲线和其他齿轮参数，优化其力学特性，从而增加接触齿对数，提高传动的平稳性，降低传动的附加载荷，提高承载能力，延长工作寿命。

1.2.2 实验方面

以往的鼓形齿联轴器实验主要是性能试验。四川资阳内燃机车厂进行了鼓形齿齿轮联轴器动载特性试验^[92]，在工况箱负荷试验台上测试不同倾角状态由低速到高速的承载力矩。机械工业部兰州石油机械研究所进行了鼓形齿联轴器台架试验^[93]，测试齿根弯曲应力、承载能力和效率，但没有确定出现最大齿根弯曲应力的啮合位置。这个试验证明了现设计的鼓形齿联轴器有足够的弯曲和接触强度，特别是弯曲强度很富裕。当转矩超载1.2至2.3倍时才出现齿面接触挤压破坏。西安重型机械研究所也进行了鼓形齿联轴器性能试验和工业性试验^[94]，通过测试在不同轴倾角和不同转速下的承载能力和效率、温升及检测运行后的齿面磨损，得出鼓形齿联轴器性能明显优于直齿联轴器的结论。文献[95]介绍了共轭齿面鼓形齿联轴器齿面接触试验方法，但没有得出明显的啮合接触区域的试验结果。到目前为止还未见到有关多齿接触实验的报告。

1.2.3 制造方面

鼓形齿联轴器的加工质量直接影响它的运行特性。再好的理论设计，最终要通过加工来实现。鼓形齿联轴器加工的核心问题是鼓形齿轮的加工。从工艺上来说，鼓形齿轮的加工最终要解决终了工序应保证有精确的齿面和高的齿面光洁度。对于硬齿面，最后可安排珩齿的工序（主要提高齿面光洁度）^[96][97]，基本齿形在热处理之前应有较好的保证。也就是说鼓形齿轮齿形的成形加工是关键。在工业发达国家，用多坐标数控滚齿机进行鼓形齿轮加工并非难事。就普通机床加工鼓形齿轮而言，主要有插齿法、铣齿法和滚齿法。

1.插齿法

插齿法是展成加工的方法，插刀作往复直线切削运动，同时与齿坯作展成运动。齿坯随同夹具作进退的直线运动，以使插刀与该运动的复合为一鼓度曲线的曲线运动。切削过程中由于主切削运动方向的改变，刀具的切削前角和后角不断变化，在大鼓度量情况下，此变化值很大。在刀具设计时将不可避免地要以丧失一部分有利的切削角度和刀具强度为代价换取可加工性。插齿加工方法还必须具备相应的机床改装，以适应刀具与工件间的运动，此改装较为困难。但是插齿法由于它加工出的齿形无理论误差，齿面齿形精度高，在国外有运用的例子^[98]。

2.铣齿法

铣齿法是一种仿形加工方法^[99][100]。该方法对于加工一段圆弧鼓形齿比较方便，只需在铣床上安装圆盘工作台和分度头即可，无须专用的工艺装置和机床改装。但是由于不同变位下齿形不同，而铣刀不能适应这种变化，必然存在齿形误差而使齿的接触精度降低。分度精度直接影响齿轮的周节误差。仿形法铣齿加工是逐个分度铣削齿槽，因此加工效率较低。此方法一般只适合于单件的精度要求不高的鼓形齿轮加工，对于非圆鼓度曲线鼓形齿轮的加工，仿形法同样存在机床改装复杂化问题。

3.滚齿法

滚齿法是迄今最常用的加工方法。它具有加工效率高、机床改装较简单、适合于使用普通齿轮滚刀加工等特点。在滚切加工中，除与滚直齿轮相同的运动外，增加工作台的一个直线运动，该直线运动与滚刀刀架运动的复合即为鼓度曲线的轨迹。为使工作台的运动满足鼓度曲线的要求，通常要根据不同的鼓度曲线设计不同的仿形装置，常见的有模板手动仿形装置、偏心凸轮式液压仿形装置、电—液靠模装置、电液伺服阀机构、微机控制的步进电机和随动阀为控制执行机构的装置。数控化改造普通滚齿机加工鼓形齿轮越来越受到重视，成为鼓形齿轮加工的重要发展方向。

模板手动仿形加工是在机床工作台与立柱之间安装所需加工鼓形齿鼓度曲线的模板和百分表，由操作者根据百分表的指针偏摆，手动驱动工作台进行加工。这种方法由于人工操作，因此，加工出的鼓形齿轮齿面较粗糙，鼓度曲线误差大，而且操作不便。对于不同的产品，需要不同的模板。这是一种较原始的加工方法。

偏心凸轮式液压仿形装置是将滚刀架的直线运动用齿轮齿条机构转变为凸轮的转动，中间配以一组挂轮，根据不同的鼓度量计算出挂轮齿数，由凸轮推动随动阀控制液压油缸驱动工作台^[101]。由于采用偏心圆凸轮匀速转动，位移曲线是正弦曲线而不是圆弧，因此加工的鼓度曲线为正弦曲线。文献[102]介绍的为液压靠模式仿形技术，对于不同的鼓度曲线，需采用相应的机械靠模，以液压随动机构进行驱动，这种加工方法，由于存在靠模制造误差，质量不易控制，而且难于加工其他鼓度曲线的鼓形齿轮。

电—机靠模和电液伺服机构^[103]与凸轮式不同之处在于它把靠模位移量变换为电信号传给执行机构，省去了机械传动装置，提高了传动精度。

滚齿法加工中存在齿面不对称误差^[104][105]。研究表明，滚齿加工出的鼓形齿以中截面为中间平面来看，上下左右齿面为反对称，即左右齿面不对称，齿面扭曲。对于大模数、大鼓度量鼓形齿轮，用多头或小直径滚刀加工，该误差较严重。对于小鼓度量加工一般将其忽略。

在滚齿加工中还有一种配偶展成法^[106][107]。它的加工原理是依外齿轮与内齿轮有偏角状态下的啮合进行展成加工的。该方法采用一特殊工艺装置使鼓形齿坯作绕其中心的锥面运动，滚刀直线进给成为假想内齿轮齿面，包络加工出鼓形齿轮齿面。用这种方法加工出来的鼓形齿轮在轴间倾角为加工时的夹角工作时，内外齿轮齿面是线接触的共轭齿面，传动比恒为1，不产生附加惯性转矩，无干涉。但这种方法所使用的工艺装置刚性较差，因此对于大尺寸的鼓形齿轮的加工较为困难。

采用多坐标数控滚齿机加工鼓形齿轮，加工精度较高。但由于设备昂贵，加工成本太高，因此国内尚不多见。

数控化改造普通滚齿加工鼓形齿轮具有广阔前景^[108-111]。它具有加工质量高、操作方便、产品适应性强、改造成本低、改造周期短等优点。微型计算机的发展非常迅速，它的功能越来越强，而价格越来越低，即性能价格比不断提高。文献[109][110]介绍了两轴开环控制的数控化改造技术，但由于滚齿机结构的限制，这种方法对于滚刀刀架的驱动不易实现，而且存在较复杂的加工编程，操作较复杂。我们开发出的似单片机为控制核心的准二轴开环控制数控系统，已成功地运用于中型滚齿机改造^[108]，加工出了高质量的鼓形齿轮。

1.3 论文的主要工作

本论文在弹性共轭曲面原理和鼓形齿联轴器理论分析、设计与制造两大方面进行创造性的研究工作，取得了一些突破性成果，主要做了以下几项工作。

1.弹性共轭曲面原理的研究，即弹性体成对几何图形及其运动间的内在联系和相互转换规律的基本理论的研究。正确推导出了弹性共轭曲面运动基本方程，并给出了弹性共轭曲面问题的一般求解方法，奠定了弹性共轭曲面原理的理论基础。

2.运用弹性共轭曲面理论研究多齿啮合的弹性共轭曲面求解方法和共轭齿面鼓形齿联轴器内外齿轮的弹性共轭齿面求解方法。

3.鼓形齿联轴器的机理分析。

4.鼓形齿联轴器鼓度曲线优化及齿轮参数优化。

5.鼓形齿轮的数控加工。

6.鼓形齿联轴器多齿接触实验。

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