第2章 圆柱正弦活齿传动空间啮合理论研究
2.1引言
活齿传动的结构型式对其运动学特性和动力学特性的影响起决定性作用。所以工程中应用时，对设计方案一定要周密的考虑到各种影响因素，以求得到最合理、传动性能最好的结构方案。目前在常见的活齿传动中，例如摆线活齿传动或推杆活齿传动等，其激波器均为偏心圆结构，这种结构形式使激波器产生惯性力和作用力，引起系统的运动不稳定，为了消除这些力的作用，必须采用双排激波器串联分布并保证相位差为180°，这样又加长了传动的运动链，增加了动力损耗。若采用椭圆型激波器等自平衡结构，虽可使惯性力、作用力平衡，但需采用柔性轴承技术，加大了加工成本。
本文研究的圆柱正弦活齿传动是一种具有自平衡结构的活齿传动，仅采用单排激波器的结构型式，即可使惯性力达到平衡，缩短了传动运动链，减少了动力损耗，提高了传动系统的效率和运动稳定性。圆柱正弦活齿传动属空间啮合传动，目前在活齿传动空间啮合理论方面的研究还未见报道。本文首先在自由度计算、运动可能性及连续传动条件等方面对其进行分析，建立了圆柱正弦活齿传动的齿廓方程，然后对其进行受力分析和活齿传动共扼齿廓间滑动率变化规律的研究，从而建立了完整的圆柱正弦活齿传动的结构设计理论和空间啮合理论，为该传动的强度设计和优化设计奠定理论基础。
2.2圆柱正弦活齿传动的结构分析
2.2.1结构组成及传动原理
图2-1所示为圆柱正弦活齿传动机构的结构简图，圆柱正弦活齿传动由主动轴、壳体、导架及活齿这四个部分组成。壳体的内圆柱表面上有周期数为Z3的内正弦滚道，轴承7、8、9、10支撑导架，导架圆周面上均匀分布着轴向活齿槽。轴承7、9支撑主动轴，其外圆柱面上有周期数为Z1的外正弦滚道，在内滚道、外滚道及导架活齿槽的交错区域内安装有球形活齿。
圆柱正弦活齿传动是空间传动机构，其空间正弦滚道具有周期性，将该传动沿圆柱直母线方向展开，则机构的运动将转化为如图2-2所示的平面运动。由此，它的自由度计算可利用平面自由度公式进行计算，主动轴、导架及壳体相对于固定机架各有一个转动副，活齿与这三个构件间形成三个高副，活齿本身存在一个局部自由度F′，则圆柱正弦活齿传动的自由度F为F=3n-2PL-PH-F′=3×4-2×3-3-1-2。由此可见，这是一个差动机构，给定两个原动件，传动机构才会有确定的运动。当固定壳体、导架及主动轴之一时，传动机构的自由度为1。在图2-2中各部件的含义同图2-1，若壳体固定，主动轴为动力输入轴，当主动轴转动时，主动轴上的外正弦滚道推动活齿运动，在主动轴外正弦滚道及壳体内正弦滚道的共同约束限制下，活齿绕公共轴线的圆周方向作等速运动，同时推动导架的活齿槽，由导架输出动力。
2.2.2圆柱正弦活齿传动的连续传动条件
为保证圆柱正弦活齿传动能够正常的工作，必须满足其连续传动条件。根据活齿传动连续传动的定义，圆柱正弦活齿传动连续传动条件可表示为“在活齿传动啮合区中每一瞬时至少有一个活齿处于啮合状态，并保证单个活齿与正弦滚道齿面能够连续接触啮合传动”。
圆柱正弦活齿传动在工作过程中，几乎每个活齿都同时参与啮合，活齿安装在主动轴与壳体正弦滚道的交叉点处，活齿的安装位置限制了活齿的数目n。将空间正弦曲线沿圆柱直母线方向展成平面正弦曲线，如图2-3所示，其中1线为主动轴正弦滚道曲线，3线为壳体正弦滚道曲线。设正弦曲线切线的斜率有正负之分，则两条正弦曲线相交，交点可以分为两类：一类交点指在交点处两正弦曲线的切线斜率同号（如图中黑点所示）；二类交点指在交点处两正弦曲线的切线斜率异号（如图中白圈所示）。若要求圆柱正弦活齿传动的输入输出为同向传动时，活齿应安放在二类交点处，此时活齿的个数为n=Z1+Z3；若输入、输出为反向传动时，活齿应安放在一类交点处，此时活齿的个数为n=|Z1-Z3|。并保证，n≥3。
由于主动轴、壳体正弦滚道齿面是由活齿齿面包络而成，则正弦滚道齿形受活齿半径r、活齿中心圆周方向旋转半径R、正弦滚道周期数Zi（i=l、3）、正弦幅值A、滚道深度b1、b3等参数的影响，这些参数应该满足一定的关系，使正弦滚道理论齿廓曲线不发生顶切，以保证活齿传动正确的运动条件。
以壳体的正弦滚道为例，将壳体的内圆柱面沿圆柱直母线方向展开后如图2-4所示。当壳体内圆柱面上正弦轨迹曲线L的最小曲率半径ρmin大于活齿啮合部分小圆半径ra时，壳体正弦滚道的理论齿廓曲线是连续的（图2-4a）；当ρmin＜ra时，理论齿廓曲线发生顶切（图2-4b）。壳体内圆柱上正弦轨迹曲线L的方程可表达为：
式中 r3——壳体内圆柱面半径r3=R+rsin（αn3），（mm）；
R——活齿中心圆周方向旋转半径（mm）；
r——活齿半径（mm）；
φ——活齿中心在圆周方向位置角（rad）；
αn3——活齿与壳体的接触角（rad）；
A——正弦幅值（mm）；
Z3——壳体正弦滚道周期数。
根据微分几何中对曲率k的定义，曲率半径ρ为
将式（2-1）代入式（2-2）中，求解得最小曲率半径为
必须满足ρmin≥ra，才能保证壳体正弦滚道理论齿廓曲线不发顶切。根据活齿中的几何关系有
，即应满足
式中b3——壳体正弦滚厚深度（mm）。
同理得到主动轴正弦滚道理齿廓曲线不顶切的条件为：
式中r1——主动轴外圆柱面半径（mm）；
Z1——主动轴正弦滚道周期数；
b1——主动轴正弦滚道深度（mm）。
2.2.3传动比的计算公式
由于转动件的角速度ω与转角φ之间的关系为ω=dφ/dt，因此圆柱正弦活齿传动任意两转动件的传动比，可表示为两转动件的转角比。圆柱正弦活齿传动中，将正弦曲线沿圆柱直母线方向展开，活齿中心沿主动轴外正弦滚道运动的轨迹方程为S1=Asin（Z1φ），沿壳体的内正弦滚道运动的轨迹方程为s3=Asin（Z3φ）。当主动轴微转角△φ1后，导架的转角为△φ2，根据活齿始终在两条正弦滚道的交叉点处的条件，可以推导出传动比计算公式。若输入输出为同向传动时，则传动比计算公式为
若输入输出为反向传动时，传动比的计算公式为
圆柱正弦活齿减速器具有结构简单、径向尺寸小等优点，其传动比理论上说可以达到任意值，但是要受到径向尺寸、正弦幅值、活齿半径等参数的制约，如果需要大的传动比，可以采用多级传动。
2.3齿廓方程的建立
圆柱正弦活齿传动中的正弦滚道是由活齿中心沿空间正弦轨迹曲线运动包络而成的。为便于该传动机构的加工制造和进一步理论分析的研究，有必要建立正弦滚道的齿面方程。
2.3.1坐标系的建立
设
分别为与主动轴、导架、壳体及活齿固联的坐标系，其坐标关系如图2-5、图2-6所示。σ1、σ2、σ3的公共坐标原点为O，所有活齿分布在半径为R的圆柱面上，主动轴齿面∑1、导架齿面∑2、壳体齿面∑3是由活齿齿面∑4包络而成。壳体固定不动，σ3即为固定坐标系，φ为主动轴坐标系到固定坐标系的旋转角，取导架坐标系为参考坐标系，φ1、φ3分别为主动轴、壳体的坐标系到参考坐标系的旋转角。根据圆柱正弦活齿传动的传动比公式可知：
2.3.2啮合方程
现以主动轴与活齿的啮合为例建立圆柱正弦活齿传动的啮合方程和齿面方程。根据空间啮合理论，两共扼齿面∑1、∑的啮合方程和啮合函数依次为：
为建立该传动的啮合方程，使在不同坐标系中的各个矢量进行计算，需将所有矢量转换到统一的坐标系中，为方便求解，将所有矢量均转换到导架的坐标系σ2中。
圆柱正弦活齿传动中的活齿为规则球体，则其齿面方程即为球面方程，活齿坐标系如图2-6 所示，活齿齿面方程用球面坐标表达为：
式中 u、v——球面上参数（rad）；
r——球面半径（mm）。
根据微分几何求得球面各点的幺法矢为
将式（2-10）代入式（2-11）中，经坐标变换整理得到：
主动轴与活齿啮合点处的相对速度为
式中
——导架坐标系中σ4与σ1坐标原点连线的矢量，由图2-6可知：
ω——主动轴旋转的绝对角速度（rad/s）；
R——活齿中心圆周方向旋转半径（mm）；
C——活齿中心轴向位移C=Asin（Z1·φ1），（mm）；
A——正弦曲线的幅值（mm）。
2.3.3正弦滚道齿面方程的建立
将活齿齿面方程（2-8）的坐标转换到σ1上，并与啮合方程（2-16）联立，即可得到主动轴齿面∑1的方程，即
式中M21——σ2到σ1的坐标转换矩阵。
主动轴齿面Σ1方程写成分量形式为：
同理得到壳体齿面Σ3的方程为：
当φ1、φ3为定值时，以上两个齿面方程成为接触线方程，该传动的接触线为活齿大圆的一部分。在实际加工中，考虑到加工精度及接触条件的影响，滚道半径r′常稍大于活齿半径r，通常情况取r′=（l.04～1.11)r,即实际工作中圆柱正弦活齿传动为空间点接触啮合传动。目前，国内外常见的滚道型面分为单圆弧滚道和双圆弧滚道两种。若采用单圆弧滚道，则主动轴和壳体正弦滚道实际的齿廓方程分别变为：
式中 R1——主动轴滚道空间正弦曲线径向半径（mm）；
R3——壳体滚道空间正弦曲线径向半径（mm）。
若采用双圆弧滚道，则该双圆弧正弦滚道的齿廓方程为（主动轴为例）：左齿面齿廓方程：
式中 r′——滚道半径（mm）；
△r——滚道半径与活齿半径之差（mm）；
β——接触角（rad）。
右齿面齿廓方程同左齿面方程，其中接触角β取负值。
2.3.4齿面仿真
采用Matlab工程软件对圆柱正弦活齿传动进行齿面仿真的研究。为仿真出三维曲面，在接触线上划分100个单元，在齿面圆周方向划分1001个单元，由此将齿廓曲而划分为100×1001的网格。根据数学模型计算出各个网格节点对应的数值，得到齿廓曲面的网格图，然后采用二维线性插值的方法，得到整个齿廓的曲面仿真及齿面啮合偏真如图2-7～图2-9所示。
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