第3章 三叉杆式万向联轴器的理论运动分析
3.1 前言
三叉杆式万向联轴器是一种新型的万向联轴器，它在结构上简单、紧凑、安装方便，具有承载能力大和工作可靠等优点。在国外已广泛地被应用于汽车工业和其它的工业领域。但由于它的运动规律复杂，为了彻底弄清它的特点，长期以来一直都有人对它运用不同的计算方法进行运动分析。本章运用方向余弦矩阵这一数学工具，对三叉杆滑移式万向联轴器运动机理进行解析计算，得出它的运动规律表达式和曲线图，并在后面的章节中运用同样的结构进行仿真验证，以检验计算的正确性。
3.2 三叉杆式万向联轴器的理论运动分析
3.2.1 三叉杆滑移式万向联轴器简介
三叉杆滑移式万向联轴器由滑杆套轴（又称为输入轴）、三叉杆（又称为输出轴）、小杆和内球头等组成产（这几个构件的模型图3-1所示），其中小杆和内球头装配成滑杆（模型的装配关系如图3-l最上部），在这种连接形式下，内球头可在小杆内转动，即形成球面副，具有三个转动自由度。在滑杆套轴上有三个均匀分布的孔（小杆的滑道），与安装在三叉杆轴颈上的滑杆相配合，这里所有的配合均为间隙配合。当三叉杆万向联轴器运转时（两轴有夹角），滑杆一方面沿滑道的中心线移动，另一方面沿三叉杆轴颈移动，从而实现运动过程中的角度补偿。
3.2.2 分析模型的建立
由于运动规律的特殊性，为了实现它的运动，对单联的三叉杆式万向联轴器需要在输出轴上安装调心轴承（调心轴承的模型装配关系如图3-1所示，它的内圈同三叉杆无相对滑动），否则它在理论上是不可以转动的（自由度不够）。再装上机架，即左支承（如图3-1)，就构成了三叉杆滑移式万向联轴器的装配模型。其模型如图3-2所示。
通过对图3-2中的模型进行抽象，可得到三叉杆滑移式万向联轴器的机构运动简图，其示意图如图3-3所示，在此模型中关节轴承中心同三叉杆三轴颈轴线的交点距离一直不变。由以前的分析可知，在这种模型中，三叉杆中心的运动轨迹在输出轴平行于自身运动时是以
P=
（
）为半径的圆，其中R为输入轴滑道轴线到输入轴轴线的距离（图3-4中有其示意），β为输入、输出两轴线之间的夹角（图3-5中有其示意）,L为圆锥摆中轴线长。所以采用调心轴承安装输出轴时，输出轴的运动必为一圆锥摆运动，三叉杆中心的偏心距ρ与比值
有关。当L为无穷大时，ρ=（），这时相当于用双向心轴承安装输出轴，随着增大，ρ的计算值与实际值将会出现微小的误差；由于误差极小，所以在一般应用场合可以取ρ≈（）。
由于在转动的过程中，三叉杆交点作旋转运动，因此会导致输入轴与输出轴之间的夹角发生变化，其变化范围为βmin～βmax，当O点（见图3-5）处于输入轴与输出轴转动锥中心线所构成平面的两个极限位置时，偏转角达到两极值:
在其它位置时，偏转角介于两者之间。
3.2.3 坐标系的建立
由于输出轴作一圆锥运动，在分析的过程中需建立三套坐标系，如图3-5所示。
首先建立两个固定坐标系OXYZ和O′X′Y′Z′，输出轴转动锥中心线取为轴OZ，输入轴的轴线取为O′Z′，其中O与O′重为OZ与O′Z′交点，取轴OY与O′Y′重合，且垂直于形成夹角β的OZ和O′Z′两轴所在平面，则坐标系O′X′Y′Z′可看作是坐标系OXYZ绕OY轴旋转一个角度，即为输入与输出之间的夹角β所得。另外，在三叉杆上固连一动坐标系O″X″Y″Z″，原点O″即为三叉杆的交点，O″Z″即为实际输出轴轴线，O″X″Y″平面即为三叉杆所在平面，且取轴O″Y″始终垂直于OX轴（即动坐标系O″X″Y″Z″也随三叉杆作圆锥运动）。假定在初始状态下，导向滑道轴线m1位于O′X′Z′平面内，三叉杆轴线n1位于与固定平面OXZ重合的动平面O″X″Z″内，当输入轴转过一角度
i时，输出轴上三叉杆转过o角,其中输入轴转过角i时，在坐标系O′X′Y′Z′中位置如图3-4所示（图3-4中右图为左视图，wi为输入转速），这样建立坐标系后，就可以利用引入齐次坐标的方向余弦矩阵——四阶变换矩阵进行运动方面的分析了。
3.2.4 运动分析
按图3-5所示坐标系，可先在动坐标系O″X″Y″Z″中建立三叉杆轴颈的轴线参数方程然后通过坐标变换转至固定坐标系O′X′Y′Z′中，因输入轴的滑道轴线同三叉杆轴颈的轴线相交（于小杆球面的中心），故在坐标系O′X′Y′Z′中联立三叉杆轴颈的轴线参数方程和输入轴的滑道轴线参数方程，在这个联立的方程中会出现两个未知量即输出转角o和动坐标系中的一个坐标x″，方程数和未知量数是相同的，可以求解，通过消除X″即可求得i同o的关系；同时小杆球面的中心在固定坐标系O′X′Y′Z′中的运动轨迹也可求出。
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