3.2.4.1 联立方程的求取
由建立的坐标系可知：
在定坐标系O′X′Y′Z′中输入轴的三滑道轴线m1、m2、m3方程为：
在动坐标系O″X″Y″Z″中三叉杆轴颈的轴线n1、n2、n3方程为：
定坐标系O′X′Y′Z′与定坐标系OXYZ之间的四阶变换矩阵为：
下面讨论如何在固定坐标系O′X′Y′Z′中表达出三叉杆轴线的参数方程。
为求出这个参数方程，我们必须解决动坐标系O″X″Y″Z″同定坐标系OXYZ之间的坐标变换矩阵[Moo″]。
已知O″点在OXYZ中的坐标为：
由于动坐标系O″X″Y″Z″的O″Y″轴取得始终垂直于固定坐标系OX轴，可认为先把OXYZ坐标系绕OX轴转过夹角θx，使OY轴与O″Y″轴平行，再绕新的OY轴转过θy，使OX轴与O″X″轴平行，OZ轴也同时平行于O″Z″轴（变换空间位置如图3-6所示）。则固定坐标OXYZ与动坐标系间的变换关系如下：
所以有：
因O″Z″与OZ的交点S在OXYZ坐标系中的坐标为（O，O，L），在O″X″Y″Z″坐标系中的坐标为（O，O,
），代入式（3-5）
可推出：
由式（3-6）可知|θy|<θ，|θx|<θ一般来说θ值非常小，则θy和θx则更小。到此方向余弦矩阵[Coo″]的所有项均可求出。其具体的形式如下（为简化书写将θy作为已知参数代入）：
于是动坐标系O″X″Y″Z″与定坐标系OXYZ之间的四阶变换矩阵[Moo″]为：
其中tgθ=
，（L为圆锥摆中轴线长，P为圆锥摆底圆半径（见图3-3））
又坐标系O′X′Y′Z′与坐标系O″X″Y″Z″之间的四阶变换矩阵为：
[Mo′o″]=[Mo′o] [Moo″]
故三叉杆轴颈的轴线方程由坐标系O″X″Y″Z″转到坐标系O′X′Y′Z′为：
（3-7）式中A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3、B4、C1、C2、C3、C4等于其在矩阵[Mo′o″]中对应位置的表达式。
将式（3-3）同式（3-9）式联立，则有：
3.2.4.2 输入、输出转角关系的求取
由式（3-10）中的（1）、（2）两式，消去x″，即可求出输入角
同输出角
的关系。
（A1+tg·A2）sin-（B1+tg·B2）cos+
（B1+tg·B2）-
（A1+tg·A2）=0 （3-11）
在式(3-11)中略去sinθ的平方和高次项（根据实际情况p<<L，故θ也非常小），同时令cosθy≈1（由式（3-6）可知是合理的）。则可得出输入同输出转角关系：
转角关系：-≈
tgβtg2
cos3(此处单位为弧度，后面的分析中转化为度) （3-12）
速比关系：
=
≈1-
tgβtg2sin3（单位为弧度/秒） （3-13）
3.2.4.3 小杆的运动分析
3.2.4.3.1 小杆相对于滑道的运动
对式（3-10）中的第（3）式作近似处理sinθ≈≈0，cosθ≈1（实际上p<<L,近似处理是合理的），则可得到三小杆的球面中心P在固定坐标系O′X′Y′Z′中的运动轨迹：
由式（3-14）则有小杆在滑道中的滑动位移即为坐标z′值，由于三小杆的滑动位移是相同的，可取其中之一进行表示，令h1为其位移量则可表示为：
h1=Rtgβcos-
[cosβsin+cos]cos3
小杆球面中心P在定坐标系O′X′Y′Z′中的坐标（x′y′z′）表示成向量形式为：
=（x′，y′，z′），将其对时间t求导得到：
，则P点的绝对速度为vp=
。
其中：
上式中作
=wo=
=wi的处理（三叉杆式万向联轴器输入同输出的转角差值很小，可以认为是等角速传动，这在后面的分析中可以证明。）
=vpz是小杆沿着滑道的相对速度，将速度
再次对时间t求导可得小杆运动的加速度：
（其中
=αpz是小杆沿着滑道的相对加速度）。
假设输入轴的转速为定值，则ε=
=o，此时：
3.2.4.3.2 小杆（球面中心P）相对于三叉杆轴颈的运动小杆的球面中心P在动坐标系O″X″Y″Z″中的参数方程为：
（方程中hj为小杆的球面中心P到三叉杆轴线的距离，因为三小杆运动相同，故取其中之一分析，可令j=0)
将（3-17)式代入（3-10）式中第（2）个方程可得
Rsin=B1hocos+B2hosin+B4
由=，cosθ≈1，sinθ≈0则可得出小杆球面中心P沿着三叉杆轴颈相对位移量为：
ho=R-P-2Pcos2 （3-18）
将位移ho对时间t求导可得小杆球面中心P沿三叉杆轴颈的相对速度：
4PWosin2 （3-19）
将速度
再次对时间t求导可得小杆球面中心P沿三叉杆轴颈的相对加速度：
=
=8
cos2 （3-20）
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