2 推杆减速器的结构分析与齿形综合
本章根据推杆减速器的结构特征，找出了推杆内外滚子工作角之间的关系。这种关系不仅适用于激波器廓形为偏心圆的单激波推杆减速器结构，而且也适用于激波器廓形为非圆弧曲线的多激波推杆减速器。利用内外滚子工作角之间的关粤和法向等距线的几何性质，首次分析研究了激波器廓形为任意形状非圆弧曲线的多激波推杆减速器的齿廓形成理论，与传统的包络法相比，具有概念清晰，所得公式形式简单的特点，通过实例计算，证明了激波器为偏心圆的推杆减速器，其内齿圈齿廓曲线不是摆线这一重要结论。
2.1推杆减速器的结构及传动比计算
推杆减速器的结构简图如图2.1所示，它由四个部分组成：1.激波器J 由输入轴1、偏心套2、转臂轴承3所组成。为平衡激波器所产生的惯性力和抵消激波器上的径向力，一般采用双排结构，并使它们的相位差为180°。
2.传动圈C 传动圈是一个具有双排等分槽的构件，它与输出轴固联。
3.装有内外滚子的推杆 内外滚子一般是短圆柱滚子。
4.内齿圈N 内齿圈的齿形是与运动的推杆外滚子相共轭的曲线。与激波器对应，采用两个完全相同的内齿圈互成180°布置。
推杆减速器的工作原理为：当驱动力矩由输入轴输入后，它以等角速度、转动，带动偏心圆激波器绕固定中心。转动，由于偏心圆激波器径向尺寸的变化，激波器产生径向推力，推动着推杆在传动圈的径向导槽内向外移动。推杆的径向运动受到固定于机座上的刚性内齿圈的约束，作用于推杆外滚子上的约束反力迫使推杆驱动具有导槽的传动圈以等角速度ωC转动，于是实现了定速比的速度变换及功率的传递。
在推杆减速器中，设激波器按顺时针方向旋转，则传动圈C，内齿圈N的转向可能与激波器相同，也可能相反（图2.2）。为了研究问题的方便，本文中称传动圈与主动件激波器转向相同的结构为正向结构（图2.2（a）)，称传动圈与激波器转向相反的结构为反向结构（图2.2(b))。
推杆减速器的正反向结构形式完全取决于内齿圈N的齿数zN、理论推杆数zC以及激波器J的激波数zJ。
对单激波来说，当理论推杆数zC比内齿圈齿数zN多1（即zC=zN+l）时，推杆减速器为正向结构（如图2.1(b）所示）。而当推杆数zC比内齿圈齿数zN少l（即zC=zN-1）时，推杆减速器是反向结构（如图1.5所示）。当推杆数zC等于内齿圈齿数zN时，机构不能工作，而当推杆数zC与内齿圈齿数ZN之差在1以上（即zC＞zN+1或zC＜zN-1）时，机械也不能工作。
类似分析可得出结论：对于多激波推杆减速器，要使机构能够工作，齿数关系必须满足：
ZC=ZN±ZJ （2.1）
并且ZN应是ZJ的整数倍。当式（2.1）取“+ ”号时，推杆减速器为正向结构，取“—”号时为反向结构。
固定激波器J、传动圈C、内齿圈N这三个构件中的任何一个，而其余两个构件的角速度之比称为这两个运动构件的传动比。传动比用i表示，并用下标表明相应两个运动构件及其主从关系。如iCN表示激波器J固定时，传动圈C的角度速度与内齿圈N的角速度之比值。当这两个角度速成方向一致时，传动比取正值，反之传动比取负值。
利用行星齿轮传动中确定传动比的相对角速度法，很容易得到各种运动形式的传动比，如表2.1表示。
上面所说的推杆数ZC是理论上的推杆数，在工程实际中，当推杆减速器要实现的的传动比较大时，在传动圈的圆周上不能够开出理论推杆数ZC那么多的导槽，常采用“抽杆”技术，即每隔一定的间隙，抽掉一个或几个推杆，抽杆后当然不能影响整个传动机构的连续运转及传动比。
抽杆后，机构的实际推杆数ZC′要小于理论推杆数ZC。为了保证抽杆后受力均衡，要求抽杆是均匀的，抽杆前后推杆都是均布的。设n为每隔一个推杆所抽掉的推杆数，则实际推杆数ZC′与理论推杆数ZC的关系应为：
从推杆减速器的结构及工作原理可以看出，由于激波器采用了滚动轴承，使得与内滚子相啮合接触的激波器外环在工作过程中只是摆荡，从而减小了与内滚子相啮合时的滑动摩擦。另外，只要能使外滚子转动灵活，内齿圈齿廓与外滚子之何的滑动摩擦也可变得很小。可见，推杆减速器中滑动摩擦以推杆与导槽之间最为严重。
工程技术人员在实践中围绕着传动圈的结构提出了不少改进方案。一种想法是在推植与导槽之间加放滚针，轨图2.3所示，使移动副转换成通过滚动体接触的滚动副。但由于实际生产中工艺上的原因，这种方法没有被采用。
图2.4所示是推杆与导槽所构成的移动副的另外几种形式，它们也未能很好地解决移动副所带来的滑动摩擦问题。
当把推杆去掉，内外滚子合而为一时，便是滚柱活齿减速器的结构。还可以将激波器设计成内工作轮廓，内齿圈设计成外齿轮（波形轮），这种结构称为外波式活齿传动结构。
2.2内齿圈齿廓的法向等距线及性质
取固定坐标系（o，x，y）及分别与激波器和内齿圈固联的坐标系（o，xJ，yJ，）和（o，xN，yN），如图2.5所示，它们在初始位置是重合的。
设以yJ为坐标极轴，激波器J的廓形HJ的表达式为TJ=TJ（θ），则内滚子中心O1的轨迹H1是这样形成的：设HJ上任意一点M1处的单位法线向量为
，在法线上，取长度Tz（Tz等于滚子半径），得一点O1，则这个点就在H1上，这样逐点形成的H1与HJ是法向等距线，它们在对应点有共同的法线。证明如下：
这表明，H1在01点处的切线向量
与垂直，即既是HJ在M1点的法线，又是H1在O1点的法线，得正。
下面再推导一下齿廓及其法向等距线的相对曲率关系。设HJ的孤长参数为SJ，相对曲率为kJ，而H1的孤长参数为S1，相对曲率为k1，由微分几何可得：
最后得到法向等距线在对应点的相对曲率关系为：
kJ=k1/（1-Tzk1） （2.3）
相对曲率半径关系：
PJ=P1-Tz （2.4）
内齿圈的齿廓HN与外滚子中心的轨迹H2也是法向等距线，它们在对应点也有共同的法线，相对曲率与相对曲率半径也有和上面类似的关系。
2.3内外滚子工作角之间的关系
设在某一时刻，激波器与内滚子相切接触在M1点，内齿圈齿廓与外滚子相切接触在M2点，如图2.5所示，则图中a1与a2分别叫做内外滚子工作角。在工作行程，al及a2都为正值，在非工作行程，它们都为负值。
上面已说过，内滚子中心的轨迹H1是激波器廓形HJ的外法向等距线，激波器按顺时针方向转动时，H1是一条以转角φ1为参数按逆时针方向生成的有向曲线，设其方程式为：
l1=l1（φ1）
由微分几何知，曲线Hl的向径与切线正方向的夹角μ1可由下式计算：
切线的正方向应取与曲线极角的计量方向一致，当
大于零时，μ1在0至π/2范围内取值，当小于零时，μ1在π/2至范围内取值。
由（2.5）式可得：
如图2.5所示，设激波器相对传动圈顺时针转过φ1角的同时，内齿圈相对传动圈反方向转过了φ2角（对于反向结构，内齿圈则相对传动圈按与激波器转向相同的方向转过φ2角，见图2.6）。
外滚子中心O2的轨迹H2是内齿圈齿廓的内法向等距线，它可以看作是一条以φ2为参数按顺时针方向形成的有向曲线（对图2.6所示反向结构，H2是一条按逆时针方向形成的有向曲线H2的方程为：
l2=l2（φ2）=l1（φ1）+l （2.7）
将φ1与φ2分别作为上述有向曲线H1及H2的参数，无论对于正反向哪种结构,φ2随着φ1的增加而增加，并有关系式
同样，由微分几何，曲线H2的向径与切线正方向的夹角μ2可由下式计算：
分析图2.5及图2.6可知，当μ1及μ2的取值在
范围内时，a1及a2为正值，当μ1及μ2的取值在
范围内时，a1及a2为负值，故恒有下面的式子成立：
2.4.1内齿圈的齿廓方程
为了提高加工精度及降低成本，推杆内外滚子通常选用半径相等的短圆柱滚子标准件，这样，对激波器廓形和内齿圈齿廓两条曲线只要知道其中之一，便可根据机构传动比、推杆长度及滚子半径来确定另外一条曲线。
设选定激波器廓形为TJ=TJ（θ），按通常的极坐标表示法，θ增加的方向为逆时针方向。由激波器廓形方程便确定了激波次数ZJ。设激波器相对传动圈从初始位置顺时针转过了φ1角，对正向结构，内齿圈相应地相对传动圈逆时针转过了φ2角（图2.5)，对于反向结构，内齿圈相应地相对传动圈顺时针转过了φ2角（图2.6),由图可得：
上式中的μ为曲线HJ在M1点的向径与切线正方向的夹角。前面已说过，曲线向径与切线正向的夹角μ的取值范围是［O，π]。在用计算机解算时，反正切函数arctg（x）的值域是
，所以为了使概念明确和使用方便，特定义下面在本文中使用的函数：
上式中TJ（θ）表示极径，其值当然为正。
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