第三章  有限元基础

3.1  线性有限元

线性有限元涉及的固体力学是建立在本构方程、几何方程、以及平衡方程三个方程基础之上的。由此导出的控制方程反映了结构真实受载后的运动状态。在许多场合可将本构与几何运动方程处理成线性，进而使控制方程线性化（如叠片在离心与扭转载荷下的强度计算）。

3.1.1  本构方程

建立本构方程时应考虑应力、应变两物理参数，且两者呈线性，这就是虎克定律。

对各项同性材料而言，弹性矩阵[C]为：

 

3.1.2  几何方程

小变形情况下的几何关系为：

而对于旋转体（轴对称实体），用极坐标取代直角坐标可表达成：

3.1.3  平衡方程

在有限元法分析中，认为单元与单元之间仅通过节点相互连接，单元与单元之间的相互作用力是通过节点来传递的，并以节点处力的平衡条件来建立平衡方程。

作用在单元边界上的集中力写成通式为

APOLANS是以位移为有限元控制方程的基本未知量的位移模式有限元法，在此模型下，虚功原理转变为总位能原理：在一个物体上，满足位移协调以及位移与运动边界条件的所有位移形式中，满足平衡条件的位移形式使总位能取最小值。

设变形体总位能∏为：

∏=U-W

其中U是变形能，W是外力功

在此需指出，有限元法不寻求在结构整个域上连续的位移函数，而是寻找各个子域（单元）上，满足域内及域界连续的位移函数，亦即对各单元而言，设{q}为节点位移未知量，（板元中还对应节点的转动）在单元内部和边界上，假设满足位移协调条件的插值函数N，于是体内位移u为：

{u}=[N]{q}

代入式（3.1.3）由此推出应变与节点位移关系：

{ε}=[△]^T[T]{q}

    =[B] {q}

[△]为（3.1.3）中微分算子组成的矩阵，[B]为应变、位移关系矩阵，由总位能原理得：

δ∏=δU-δW

其中

由此推出

对{δq}的任何分量，总位能原理总能成立，所以在整个域中对所有单元求和，有

[K]{q}={F_V}+{F_S}-{F_I}+{F_R}

其中[K]为整体刚度阵,右边第一、二、三、四项分别为作用于节点上的当量体力、表面力、初应力和节点集中力，由此静态有限元平衡方程是个系数高度稀疏的大型联立方程，一旦解得位移{q}，就可运用公式求得体内各节点的位移，应变和应力。

3.1.4  等参单元

等参元是直接通过插值函数，将节点位移与单元内各点位移连接起来，不再去求解多项式广义坐标与节点坐标的关联矩阵，而是将一些任意形状的单元用自然坐标进行变换以达到规则的形状（如正三角形、正六面体等），对各种规则形状的单元给予同一的插值函数，然后在规则区域内进行积分，其基本过程为用单元的局部坐标系表示的插值函数来表示元素坐标与广义位移，以插值函数来近似单元内部的真实位移变化，必须保证刚体位移和常应变，并使单元边界上是协调的，为保证精度，表达式应对每个坐标力求对称。

等参三维元的插值函数为（8——20应点）

    N₁=g₁-(g₉+g₁₂+g₁₇)/2

    N₂=g₂-(g₉+g₁₀+g₁₈)/2

    N₃=g₃-(g₁₀+g₁₁+g₁₉)/2

    N₄=g₄-(g₁₁+g₁₂+g₂₀)/2

    N₅=g₅-(g₁₃+g₁₆+g₁₇)/2

    N₆=g₆-(g₁₃+g₁₄+g₁₈)/2

    N₇=g₇-(g₁₄+g₁₅+g₁₉)/2

    N₈=g₈-(g₁₅+g₁₆+g₂₀)/2

    N_j=g_j

(对于j=9.....20，)

当不包括I节点时，

g_i=0          否则

g_i=G（r,r_i）G(s,s_i)G(t,t_i)

G（β，β_i）=(1-β²)      对于β_i=0

G（β，β_i）=（1+β_iβ）    对于β_i=±1

其中β=r,s,t

维变形状态下，根据几何关系、应变列阵为：

这里{u^k}_e为单元节点位移列阵

[B]为应变矩阵，其中第i个子矩阵为

单元刚度矩阵为：

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