单元刚度阵中dV=∣J∣dξdηdζ，所以在局部坐标系ξηζ内积分式（3.1.6），可采用三维高斯求积公式：

3.2  几何非线性有限元法

当薄板、壳等物体受到载荷，位移与应变关系不可用线性来描述，而且应变超过10％以上时，必须采用大应变理论。因此考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论均为几何非线性问题。

3.2.1  物体变形和运动的描述

从变形的角度来说，物体的变形过程实际上是从一种图形变换到另一种图形的过程，由于物体是由质点所组成的，物体的形状可以用质点间的相互位置来表示。

质点p在时间t=0时刻的位置坐标为x_i（i=1，2，3），在t=t时刻质点移到另一位置上，由于质点间的相互位置关系发生了变化，物体因而改变了形状，这时p点的位置坐标为

x_i（i=1，2，3）它是xi与时间的函数

X_i=X_i(x_i,t)    （i=1，2，3）            (3.2.1)

对于变形体及其上的质点运动状态，可以随不同坐标选取法有多种描述方法：

(1)参照描述（拉格朗日法）独立变量为任意选择的参照构形中质点P的当前坐标与时间t，其中参照构形的选择是任意的，而且不影响计算结果。

(2)空间描述（欧拉描述）：独立变量是质点P当前位置n+1_x与时间隔n+1_t,其研究方式不是跟随着运动的质点研究其运动状态，而是研究不同的质点。

(3)物质描述：独立变量为x_i与（i=1，2，3）即给出任意时刻物体中各个质点的位置，这种方法很少用于有限元法中。

经过空间某一点时的状态。

(4)更新的拉格朗日法：在物体运动的整个过程中，如果从零时刻到t时刻的所有力学量是已知的，度量t+△t时刻各个力学量的参考坐标是以t时刻的坐标来描述，也就是说在某一时刻物体的力学量，都以它的前一个时刻的坐标系来描述的。

由于拉格朗日描述在大应变时非弹性本构关系不易引入，其适应于大位移，中等转动和小应变情况以及线性、以及非线性屈曲，因此本文仅讨论全拉格朗日法(T.L法)的情形。

3.2.2  完全拉格朗日（T.L）公式

以t=0时刻为基准描述物体在t+△t时刻的平衡，在平衡方程中采用格林—拉格朗日应变分量 以及克希霍夫张量t+Δt_Sij,

上式是将t+△t时刻的应力、应变、位移看成t时刻已知的应力、应变、位移和未知增量应力{0^S}，应变{0^ε}，位移{0^u}之和，进一步，增量应变{0^ε}可用线性部分即{o^ε}={o^e}+{o^η}

0^eij中只含有未知增量位移的一次方项，而0^ηij中含有未知增量位移二次方项，所以非线性主要体现在0^ηij中

由于0^tu及0^tε已知，利用式（3.2.5）(3.2.6)可行

式（3.2.2）可写为：

上式为T.L描述的增量形式的虚功方程，左边第一项为增量应力在增量虚应变上做的虚功，左边第二项为t时刻的总应力在非线性部分虚应变上的虚功。右边第二项为t刻的总应力在线性部份虑应变上的虚功。 右边第一项t+△t₀W为外力做的虚功。

式（3.4.16）是包含了未知量的高次项，是一个非线性方程。由于采用了增量加载，对每一个增量加载段，当作线性问题处理，即采用分级线性化来求解。为此可近似取应变的线性部分来代替全部应变，即：

只要加载步长分得很小，这种代替引起的误差将不会很大，同时这种误差还可以在求解过程中由平衡迭代来修正。

将式（3.4.17）代入式（3.4.16）求得非线性虚功方程

上式在有限元中将物体离散为有限个单元的集合体时可为：

{}e表示此量是属于单元的。

式（3.4.14）(3.4.19)为增量形式的完全拉格朗日（T.L）方程。

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