第五章  叠片联轴器的振动特性分析

5.1  振动分析的有限元法

5.1.1  振动方程

各自由度系统振动方程的矩阵表达式为：

[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={P}                        (5.1.1)

其中[M]为系统的质量矩阵，{P}为各载荷矢量之和，[K]为刚度阵

[M]=

[C]=

上式右边d为各单元阻尼系数

式（5.1.1）又分以下几种情况：

(1)多自由度无阻尼自由振动

[M]{x}+[K]{X}=0                        (5.1.2)

(2)多自由度有阻尼自由振动

[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}=0                 (5.1.3)

(3)多自由度无阻尼受迫振动

[M]{x}+[K]{x}={P}                      （5.1.4）

(4)多自由度有阻尼受迫振动

[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={P}                  （5.1.5）

5.1.2  多自由度系统的固有频率和主振型

我们通过求解系统的无阻尼自由振动方程，可以求得系统的固有频率。

多自由度无阻尼自由振动微分方程式为：

[M]{x}+[K]{x}=0                  （5.1.6）

设上列方程的解为：{x}={A}e^iωnt                 （5.1.7）

式中，{A}是系统自由振动时，各坐标上的振幅组成的列阵，称为振幅向量，即

又因为

{x}={A}^iωNt(i^ω_N)                  (5.1.9)

{x}={A}^iωNt(-ω_N²)                  (5.1.10)

式（5.1.10）连同式（5.1.7）代入式（5.1.6），简化后得

（[K]- ω_N²[m]）{A}={0}]                  (5.1.11)

解该方程即转为求特征值问题。

{A}要有非零解，则{A}的系数行列式必须为零：

Δ(ω_N²)=det[K] - ω_N²[m]=0                  (5.1.12)

即

式（5.1.12）(5.1.13)都称为系统的特征方程或频率方程，将其展开后可得到（ω_n）²的n次代数方程式：

ω_N²ⁿ + a₁ω_N^2(n-1) + a₂ω_N^2(n-2) + A + a_n-1ω_N²+ a_n=0                  （5.1.14）

 

式中系数a都是k_ij与m_ij的组合。

对于一个n个自由度的系统，求解特征方程后可得到(ω_n)²的n个正实根，即为方程的n个特征值，也是系统多阶固有频率的平方值。将这n个固有频率由小到大按次序排列，分别称之为一阶固有频率（基频）、二阶固有频率……n阶有频率，即0＜ω_n1＜ω_n2……＜ω_nn

于是方程（5.1.14）可写为：

（ω₂-ω_n1²）（ω²-ω_n2²）……（ω²-ω_nn²）=0                 （5.1.15）

或

ω²ⁿ-(ω_n1²+ω_n2²……ω_nn²) ω^2(n-1)+……(-1)ⁿω_n1²……ω_nn²=0      （5.1.16）

求得各阶固有频率ω_ni后，将方程5.1.6划去其中不独立的某一式，并将剩下的n-1个方程中的某一相同的A_i项（这里取最后一项），移到等式右边，把某一ω_nj²的值代入ω²后，得如下方程组：

这样可对A₁^（r）A₂^（r）……A_n-1^（r）求解，显然，A_j^（r）与A_n^（r）成正比，于是得出固有频率ω_j与振幅值A₁^（r）A₂^（r）……A_n^（r）之间的振幅比关系。

显然，这一振幅比表示了系统按第r阶固有频率作振动时的振动形态。我们把由这n个具有确定的相对比值的振幅所组成的列阵称为系统的第r阶主振型即：

将系统的各阶固有频率依次代入5.1.11，可得系统的第一、二……n阶主振型。

n个自由度的系统就有n个固有频率和主振型。

5.1.3  几何非线性对结构刚度的影响

按全拉格朗目列式法（TL法）的公式：

（[K]₀+[K]_σ+[K]_L）{Δq}=[K]_r{Δq }={F}+{T}-{P}        (5.1.18)

其中，{F}、{T}、{P}分别为体力、面力、以及应力在节点上的等价合力，而

对式5.1.18，我们将等号左端三个矩阵的各用[K]_T表示，称切线刚度阵，它表示了载荷增量与位移增量之间的关系。

另外，[K]₀为常规有限元法中的刚度矩阵，但材料阵[C]却为t时刻的材料刚度阵，其本构关系为：

Δ0^S_ij=0^C_ijlmΔ0^E_ij                (5.1.22)

其中0^C_ijlm为增量材料性质张量。

[K]₀的求值并无困难，[K]_σ称初应力或几何刚度阵，它表示在大变形情况下初应力对结构刚度的影响，它未明显含有位移增量，但S_ij是Δq的函数，因此[K]_σ是变量Δq的隐函数，对于[K]_σ，当应力为拉应力时，结构的刚度提高，当应力为压应力时，结构的刚度减小。[K]_L称为初位移刚度阵或大位移刚度阵，是由大位移引起的结构刚度变化，是Δq的一阶和二阶函数。由公式5.1.19～5.1.21可见三个刚度都是对称的，因而切向刚度阵[K]_r也是对称的。（以上考虑惯性力带来的影响）。

对于公5.1.22如果是小应变问题，该公式可由材料实验得到，但对于格林应力与克希霍夫有限应变而言却不是一件易事。

因此，按照几何非线性理论，结构刚度不但取决于结构材料与初始构形，而且很大程度上取决于受载后的应力分布（[K]_σ）、位移（[K]_L），刚度是随受载情况而变化的。反映在实际工程中，则有转动结构的动态频率高于静态频率的现象。

对静态问题，求解以下特征方程可得到频率及对应的模态：

（[K]-λ[M]）{q}=0               (5.1.23)

这是一个广义特征值问题，如何得到所需各阶的频率与对应模态稍后再述，这里要说明的是结构材料与构形决定后，[K]与[M]不随外载变化，因而频率是固定的。

对动态频率而言，如果按几何非线性理论，应求解如下特征值方程：

（[K]_T-λ[M]）{Δq}=0               (5.1.24)

其中对T，L法有

[K]_r=0^[K]₀ + 0^[K]_σ + 0^[K]_L

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