第二章 齿轮联轴器的刚度及阻尼
2.1 引言
齿轮联轴器是一种可移式联轴器，类型很多，且多数已经标准化。齿轮联轴器通常由四个部分组成，如图2.1a、图2.1b所示。它一般包含二个半联轴器，每个半联轴器又由一对齿数相等的内啮合齿轮（内齿套和外齿轮）构成。类型主要可分为CL型和CLZ型，以适合不同的使用目的。如果按齿形来分，则可分为直齿齿轮联轴器和鼓形齿齿轮联轴器等。
对于齿轮联轴器的研究，以往人们比较注重其内摩擦对系统稳定性的影响，而忽视其在整体系统中的参振作用。关于齿轮联轴器力学模型建立的讨论较少，Marmol[34]对直齿联轴器进行了模化，考虑了齿轮联轴器的横向和转角方向的变形及摩擦。用四个等效的刚度和阻尼系数来表征齿轮联轴器的横向振动特性，其中的转角刚度是在内外齿面分开及在轻载荷时才成立，而没有考虑在重载不脱齿时的情况，同时也未对扭转振动特性进行分析。因此这方面的研究应进一步深入。
本章首先在外齿轮啮合的基础上，提出了二梯形当量齿形法建立了直齿齿轮联轴器内齿套和外齿轮轮齿的变形和刚度计算模型。其次，分析了作用在齿轮联轴器系统上的受力情况，并根据一些必要的假设，利用六个等效的刚度、阻尼系数来刻划半联轴器系统的力学行为。最后，通过实验对作用于某CL型齿轮联轴器上的弯矩进行实测，根据实测结果来确定齿轮联轴器的转角刚度，并对内外齿轮之间的接触情况作出判断，从而可以在实际系统的动力学分析中，比较合理地选择齿轮联轴器的动力特性。
2.2 直齿联轴器轮齿变形分析—二梯形当量齿形法
在分析大型的轴承—转子—齿轮联轴器系统的振动时，文献[34]将其中的联轴器看成是一个质量弹簧阻尼器系统，而弹性系数的确定需要知道轮齿的变形，下面就针对轮齿的变形特点进行分析计算。对于轮齿变形或刚度的计算方法很多[84]，但通常采用当量齿形法、有限元法[85～87]等。当量齿形法是将齿廓用一个矩形和一个梯形来模拟渐开线齿形，轮齿的总变形包括矩形和梯形的弯曲变形、剪切变形、由轮齿基体的弹性倾斜所引起的轮齿的变形以及轮齿的Hertz接触变形。以上的计算方法是基于外齿轮啮合情况的，而对于内齿轮啮合尤其是对齿轮联轴器时就不适合，因为直齿轮联轴器内外齿的齿面形状几乎完全一样，接触面较大，此时，其中的Hertz接触变形模型不适用，而应代之以材料的整体的压缩变形模型[34]。用当量齿形法计算内齿轮的变形时当量矩形的高度也不好确定，即使如外齿轮一样来选取，但也因内外齿的轮廓存在差异而产生较大误差。Marmol[34]将齿面划分成一系列的矩形条，如图2.2a所示，这样计算的精度与所取的矩形条的数目有关，并且计算工作量较大。
本文将轮齿的齿廓划分为二个梯形，用二个梯形的弯曲变形、剪切变形、由轮齿基体的弹性倾斜所引起的轮齿的的变形以及轮齿的材料压缩变形来模拟内齿的轮齿变形，故称之为二梯形当量齿形法。这样处理与Marmol的方法相比更接近实际的齿廓形状，而且与外啮合轮齿的梯形加矩形模型正好对应。下面就介绍二梯形当量齿形法，将内齿轮轮齿划分为上、下二个梯形，如图2.2b所示。
2.2.1 下梯形部分的变形
几何尺寸
式中 hr为下梯形高度，Sf为齿根厚，Sk为截面齿厚。
（1）弯曲变形及柔度
在截面x处的弯矩
M（x）=Fncosωx[x-（hil-hx] （2.2）
式中 Fn为节圆处的法向载荷，ωx为节圆载荷角，hx为啮合点的高度。
在截面x处的惯性矩
式中 b为齿宽。
由卡氏定理，这部分的弯曲变形为
式中 M（x）为在截面x处的弯矩，E为材料的弹性模量。由式（2.4）可得
（2）剪切变形及柔度
式中 μ为材料的泊松比。
2.2.2 上梯形部分的变形
几何尺寸
式中 S为节圆齿厚。
（1）弯曲变形及柔度
在截面x处的弯矩
M（x）=Fncosωx[x-hi2-hx] （2.10）
在截面x处的惯性矩
（2）剪切变形及柔度
2.2.3 轮齿基体的弹性倾斜引起的变形
根部的应力状态比较复杂，在此把它看成是线性分布[85]，如图2.3所示
在齿根处的弯矩
式中 σ为最大齿根应力，a为几何参数。
相应的法向柔度为
2.2.4 整体材料的压缩变形
相应的柔度[34]为
注：文献[34]中的E已计及了泊松比的影响。
轮齿总的法向柔度
q=qB1+qS1+qB2+qS2+qG+qH （2.21）
2.3 二梯形当量齿形法与有限元法的比较
本文采用CL5型齿轮联轴器[88]的轮齿作为计算模型，其中齿轮模数m=3，hx=3mm，b=25mm，α=20°，E=206GPa，μ=0.3。采用二梯形当量齿形法计算，取hr≈hx/2，结果见表2.1，取hr≈hx/3时，计算结果见表2.2。
表2.1 各项柔度的计算值hr≈hx/2 m/N
| |
qB1 |
qS1 |
qB2 |
qS2 |
qG |
qH |
q |
| 内齿 |
5.945×10-11 |
1.063×10-10 |
1.554×10-11 |
1.358×10-10 |
1.774×10-10 |
7.821×10-11 |
5.728×10-10 |
| 外齿 |
1.601×10-10 |
1.470×10-10 |
3.432×10-11 |
1.758×10-10 |
3.978×10-10 |
6.257×10-11 |
9.776×10-10 |
表2.2 各项柔度的计算值hr≈hx/3 m/N
| |
qB1 |
qS1 |
qB2 |
qS2 |
qG |
qH |
q |
| 内齿 |
4.424×10-11 |
6.818×10-11 |
3.071×10-11 |
1.737×10-10 |
1.774×10-10 |
7.821×10-11 |
5.724×10-10 |
| 外齿 |
1.220×10-10 |
9.546×10-11 |
7.207×10-11 |
2.280×10-10 |
3.978×10-10 |
6.257×10-11 |
9.779×10-10 |
比较表2.1和表2.2可知，二者对应的各项柔度值虽有较大的变化，但总的柔度q却变化甚微，其内外齿柔度的和相差更小。因此下梯形的高度的取值对齿对的柔度影响很小。
为了与上述方法进行数值比较，在此对内、外齿轮的轮齿进行有限元法分析。轮齿的有限元网格划分见图2.4，轮齿网格的轮廓尽量模拟自然边界。考虑到弹性基座的倾斜对柔度的影响较大，因此本文取AB=6m，AD=3.25m（m是齿轮的模数）。载荷的分布与齿对的接触情况有关，对于齿轮联轴器齿面接触比较特殊。本文将载荷均匀地分布于工作齿面上。节圆处的切向柔度为qt，相应的法向柔度[89]q=qtcos2α。计算结果见表2.3.
表2.3 有限元法计算轮齿的柔度值 m/N
| |
切向柔度 |
法向柔度 |
相对差百分比 |
| 内齿 |
6.780×10-10 |
5.987×10-10 |
-4.595% |
| 外齿 |
1.004×10-9 |
8.868×10-10 |
9.288% |
| 齿对 |
1.682×10-9 |
1.486×10-9 |
4.129% |
对内齿而言用当量齿形法所计算得的柔度值要比用有限元法所得值小，两者相差4.595%左右，如果仅从模型上来考虑，那么在用两梯形来模拟渐开线齿形对时，将齿廓渐开线用两条直线来代替，无形中使轮齿增加了小部分材料导致内齿的刚度增大，柔度减少。对外齿则相反。而齿对柔度二者相差4.129%，得到了补偿。有了内、外齿的柔度就可以计算出齿对的刚度。需要指出的是对于鼓形齿的轮齿刚度计算，由于内外齿轮轮齿间的接触面积较小，仍可按Hertz接触变形计算。
作为先进的现代工程分析方法，有限元法在齿轮轮齿的强度和刚度分析中有着较广泛的应用。但在大型的轴承—转子系统的动力学分析中，一方面由于系统非常庞大，如果采用有限元法来计算轮齿的刚度，那么会大大地增加计算工作量；另一方面由于有限元法本身比较复杂，给编程带来不便。
上述的分析计算，结果表明二梯形当量齿形法易于编程，方法简单，且能满足工程计算精度要求，因此在后面各章中凡涉及到齿轮联轴器轮齿刚度计算时，均采用二梯形当量齿形法。
2.4 齿轮联轴器的刚度和阻尼
对于图2.1所示的齿轮联轴器系统，将其中的内齿套和外齿轮均看成具有质量和转动惯量的圆盘，两半联轴器之间的部分模化成一轴段。由于齿轮联轴器的左右结构相似（参见图2.1），处理方法类同，因此下面重点来讨论其中的一半（即半齿轮联轴器）的力学模型。为使问题简化现作如下假设：1）齿侧接触且不脱开，不计齿形及齿节等误差。2）每个轮齿承载相同。3）小扰动工况，半齿轮联轴器的刚度系数在稳态下进行线性化。4）阻尼用等效粘性系数来模化。
2.4.1 半齿轮联轴器受力分析
齿轮联轴器上的受力是比较复杂的，对于外齿轮而言，除了与联轴器连接的轴段对其的作用力外，还有内齿套对外齿轮的作用力。转子系统在运动过程中，内外齿轮之间要发生相对运动，由于齿面间存在变形和摩擦，因此在外齿轮的齿面上会产生与齿面垂直的正压力Ni和与齿面相切的摩擦力Fi，见图2.5a。如果将各齿面上的作用力分别向外齿轮的中心O简化可以得到作用于O点的一个力和一个力偶，并将该力和力偶分别分解到三个轴上，得到三个分力Fξ、Fη、Fz三个力偶矩Mξ、Mη、Mz，如图2.5b所示。
对于直齿联轴器，由于沿Z方向的轴向力FZ较小，故将其忽略，将上述的力和力偶矩分别在稳态下进行线性化，则可得
其中 Fξ0，Fη0，Mξ0，Mη0，Mz0分别为在稳态下内齿套作用在外齿轮上的作用力和力偶。
△Fξ，△Fη，△Mξ，△Mη，△Mz分别为相应的动态力和动态力偶矩。
在理想状态下
Fξ0=Fη0=Mξ0=Mη0=0
Mz0=T （2.23）
式中 T为联轴器所传递的扭矩。
根据前面的假设，将内外齿轮间的动态力和动态力偶用半齿轮联轴器的等效刚度和阻尼系数来表示，则可得
式中 kξ，kη分别为半齿轮联轴器沿ξ，η轴的横向刚度系数。
kε，kδ分别为半齿轮联轴器绕ξ，η轴的转角刚度系数。
kt为半齿轮联轴器绕z轴的扭转刚度系数。
式中 cξ，cη分别为半齿轮联轴器沿ξ，η轴的横向阻尼系数。
cε，cδ分别为半齿轮联轴器绕ξ，η轴的转角阻尼系数。
ct为半齿轮联轴器绕z轴的扭转阻尼系数。
△ξ，△η，△ε，△δ，△θ分别为半齿轮联轴器内外齿轮中心处的相对横向位移、转角位移和扭转角位移。
分别为半齿轮联轴器内外齿轮中心处的相对横向速度、角速度和扭转角速度。
在上述的刚度和阻尼系数中，如果齿轮联轴器对中良好，沿ξ，η二个方向的力学行为基本相同，则齿轮联轴器的刚度和阻尼可简化为六系数，并用kl，ka统一表示为横向刚度系数和转角刚度系数；cl，ca则分别表示为横向阻尼系数和转角阻尼系数。
根据作用与反作用定律，可以写出外齿轮对内齿套的作用力关系，在此从略。下面就重点来讨论这六个刚度和阻尼系数的建立过程。
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