第二章  鼓形齿轮联轴器啮合分析

在理想的状态下齿轮联轴器联接的两段轴完全对中，内外齿轮没有相对偏斜，各对应齿对的啮合状态完全相同，所承受的负荷也完全相同。但在实际机组中，齿轮联轴器联接的两段轴并不完全对中，使其内齿圈和外齿套存在各种相对偏斜，这时各对齿啮合位置及负荷都将发生变化，从面引起联轴器附加力和力矩变化。导致整个转子系统动态性能的改变。本章作为研究鼓形齿轮联轴器的基础，对齿轮联轴器在零负荷或轻负荷条件下，对内外圈发生相对偏斜进行齿面啮合状成分析，得到在不同状态下各个的齿对齿面相对了最小间隙、所在位置以及等间隙曲线，计算结果与Heinz计算结果进行了比较，综合两方面的结论为下一章齿轮联轴器力学模型简化提供依据。

§2.1  齿轮联轴器齿形方程

§2.1.1  内齿轮齿形方程

在鼓形齿联轴器中由于内齿加工困难，一般不进行鼓形修整及其它修形，因此内齿圈的齿在分度圆的切面内为直线，在垂直于轴线截面内其齿形都是标准渐开线。如图2.1为内齿轮沿轴向任意处垂直轴线截面的齿廓的形状，为了计算方便采用柱坐标，以齿轮的中心为原点，齿厚的对称线为极轴，齿廓上任意一点的坐标为：

式中：θ^N:是内齿坐标极角，正负号分别表示上下侧齿廓；

α：为压力角（20°或25°）；：为、处的压力角；

R_b：基圆半径；I=1，2，3……Nz，Nz：齿个数；

β^N ：分度圆齿厚夹角之半；上标N：代表内齿轮。

§2.1.2  外齿轮齿形方程

为了避免因为齿轮联轴器结构误差或内外齿轮不对中误差而引起齿端面和齿顶发生强烈火的接触，一般对齿轮联轴器的外齿进行鼓形修型，此外齿轮称为鼓形齿轮，一般鼓形齿是通过滚齿机经过圆弧送切形成的。如图2.2所示在分度圆切面内A-A向齿开为弧线，在垂直于轴线截面内其齿形近似为渐开线，齿宽中央是正常齿厚，而离形齿宽中央使外齿轮负方向变位逐渐增加，齿厚减速薄齿宽方向形成鼓形，为鼓形修形量。

Rc=Rc/ctgα；Rc圆弧送刀半径；

如果以齿宽心处圆心为原点，联轴向为Z^w，以齿厚的中线为极轴，垂直于轴线方向的任意截面上的齿形如图2.3，半径为，轴向坐标为，柱坐标方程为：

 

式中：θ^w：是内齿坐标极角，正负号分别表示上下侧齿廓；

α:为压力角（20°或25°）；：为、处的压力角；

R_b：基圆半径；I=1，2，3……Nz，Nz：齿个数；

β_o^w: 分度圆齿厚夹角之半；R_p：分度圆半径；

:鼓形修形量（、处的单连减薄量），上标w：表示外齿轮。

§2.2  齿轮联轴器三维啮合分析

§2.2.1  相对径向位移啮合分析

当齿轮联轴器内外齿轴线发生径向位移Δx，Δy时，内外齿之间相对位置及啮合状态与零齿差内外齿轮传动相似，即啮合线沿相对位移e的方向，啮合角为90°。如图2.4所示：设内齿轮为主动轮由于只有径向位移且外齿为鼓形齿，所以内外齿在齿宽中央截面处齿廓上啮合，设O^N-X^NY^N固结在内齿轮上，其上一点M（x^N，y^N），O^w-X^wY^w固结外齿轮坐标其上一点为N（x^w，y^w）

§2.2.2  相结转角位移三维啮合状成

当齿轮联轴器内外齿轮只发生轴线间的相对转角倾斜时，它们相对位置关系如图2.5以两轴线的交点O（O^WO^N）为原点，取空间坐标系O^N-X^NY^NZ^N固定在内齿上，O^W-X^WY^WZ^W固定在外齿上，外齿相对内齿转角位移ΔΔψ；ΔΔψ是绕Y^W，X^W轴相对倾斜角。内外齿轮分别经Z^N，Z^W为轴线进行旋转，其转角分别为θ，θ′，由2.1,2.4式可以确定内外齿各齿面的极坐标，则内外齿齿廓在直角坐标系中O^N-X^NY^NZ^N,O^W-X^WY^WZ^W的坐标分别为：

图2.6是图2.5的三维表示方法，对于内外齿一对对应齿来说（设内齿轮为主动轮）当内齿轮齿转过θ，O^N-X^NY^NZ^N，齿廓上的一点A（x_A^N，y_A^N,z_A^N）也转过θ到达A′（x_A^N，y_A^N,z_A^N），相应外齿的对应点B（x_B^w，y_B^w,z_B^w）要转过θ到达B′（x_B^w，y_B^w,z_B^w）才参与A′点重合。如果把内齿第I个齿面沿径向划分为N条网格，轴向划分为M条网格，共划分成N×M个网格点，在内齿轮上Aij-转过θ角后到达A′ij，外齿轮上与之对应的点Bij需要转过θ′ij才能与点A′ij重合，第I个齿对的整个N×M个点中外齿轮转过所对应的点为该齿对有载荷时优先啮合的点，即无载荷时的最小间隙点。对于所有NZ个齿来说：在内齿轮转过θ后，每个齿对都有一个优选啮合的点，使外齿轮转过的角度最大

，其中最大值所对应齿对上的点则为内齿轮转过θ后，NZ个齿中最先啮合的齿对上的啮合点，则在内齿轮转过θ时，对应齿对圆周方向间隙为：

如果内齿轮旋转角θ从0～2π变化时，则通过上面的方法可以求得内外齿轮旋转一周时，内外齿轮各个齿对全齿廓的啮合状态，从面得到每个齿对的最小啮合间隙的大小、啮合位置以及每个齿对的等间隙曲线。

以上的方法同样也实用外齿轮为主动轮场合。

§2.2.3  转角和径向位移三维啮合状态

与纯的转角相似坐O^W-X^WY^WZ^W——O^N-X^NY^NZ^N标变换为:

同样可以得到内外齿轮各个齿对齿廓的啮合状态，每个齿对的最小啮合间隙的大小，和啮合位置以及每个齿对的等间隙曲线。

§2.3  计算结果及分析

§2.3.1  齿轮联轴器参数

表2.1齿轮联轴器参数

模数	30mm	齿数	56
压力角	20°	#	#
内齿轮		外齿轮
齿宽	40mm	齿宽	40mm
鼓形量	#	鼓形量	156mm
变位系数	0.3	变位系数	0

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