第四章齿轮联轴器——轴承——转子系统弯扭耦合振动理论
§4.1 引言
目前对外齿轮耦合轴系转子动力学的研究较多，但对齿轮联轴器耦合轴系转子动力学的研究还很少，从目前见到的文献看，对齿轮联轴器联振动的研究还只限于半齿轮联轴器接的轴系的弯曲振动、扭矩振动以及轴向振动的讨论，对全齿轮联轴器—转子—轴承系统弯扭耦合振动的讨论还没有。其主要原因为：（1）齿轮联轴器啮合状态复杂力学模型不易简化。（2）齿轮联轴器内外齿发生变位时载荷分布复杂，不易建立振动方程。本章在前几章的基础上进一步对齿轮联轴器连接的轴承—转子系统进行了研究，把模化后的齿轮联轴器的刚度与轴承—转子系统相结合，利用集总质量法对转子系统进行离散化处理，建立了齿轮联轴器弯扭耦合振动方程；列出整个轴系固有频率方程。
§4.2 转子—轴承系统固有振动方程
§4.2.1 转子的离散化
一个实际转子，可以看作由一根变截面的轴和分布其上的若干圆盘所组成。用集总质量法，可将其离散成n段无质量的弹性轴和n-1个集总质量。如图4.1所示。具体过程见文献。
§4.2.2 质点的运动方程
式4.3中右端第一项为惯性力：三、五两项为滑动轴承的油膜力；二、四两项为外加阻尼力及刚度力……，Pcx，Pcy则代表与系统本征值无关的外加激励力、不平衡力、重力或其它控制力。ΔFx，ΔFy为齿轮动态啮合力在x、y方向上的分量。当所简化的质点是各向同性时，其直径转动惯量θx=θy=Jd，极转动惯量θz=Jp。
由式4.1得到
由此得到完全位移、转角及其导数（x，y，
，ψ，…）表示的各轴段力及力矩的平衡方程
§4.2.3 边界条件
当转子的两端既不承受力，也不承受力矩时有
端点o、n处的坐标可分别用节点1、n-1处的坐标来表示
§4.2.4 无量纲化
各无量纲量按下列定义
设系统方程的解具有一般形式x=xoert、r=-u+iv，相应的无量纲表达X=X0eλT、λ=-U+iV，其中U=u/w、V=v/w。将第j个轴段方程与成矩阵形式：
§4.2.5 系统弯曲振动方程
将式（4.11）～（4.17）综合起来，写成矩阵形式，即可得到一段固定瓦滑动轴承——转子系统的弯曲振动方程
式中[M]、[C]、[K]分别为系统的总质量阵、总阻尼阵和总刚度阵，位移向量{X}=（X1，Φ1，…，Xj，Φj，…，Xn-1，Φn-1）T
§4.2.6 转子系统扭矩振动方程
1）轴段单元的扭矩振动方程
图4.5所示为转子系统扭矩转振动的力学模型，其中θxj为第j个集总极转动惯量，Kβj为第j个轴段的扭转刚度，Kβj=
，G为材料的剪切弹性模量，dj和lj分别为第j个轴段的直径和长度，βj为θzj的扭矩转角位移。
当忽略轴承对转子扭转振动的阻尼影响时，则第j个质点的扭矩自由振动方程为：
按4.1.4节无量纲量定义，式（4.15）的无量纲形式为
第一个质点和最后一个质点，其扭矩自由振动方程为
2）转子系统的扭转振动方程
综合式（4.20）和式（4.21），得到转子系统扭转自由振动方程
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