§4.3  齿轮联轴器—转子—轴承系统弯扭耦合固有振动方程

对图4.4所示的齿轮连轴器—转子—轴承系统，用上节所述方法，可以写出齿轮联轴器连接的两段轴及联轴器中间的弯曲振动方程和扭转振动方程，之后将它们联立起来，可得到如下形式

我们称为准总质量阵，为准总阻尼阵，为准总刚度阵。位移向量：

其中，上标（w）、（N）分别表示外齿轮和内齿轮，下标i=1，…，n-1表示集总质量所在节点号，下标j=1，…j，…Q表示第j个半齿联轴器，ΔF_xj^w，ΔF_yj^w表示齿轮动态啮合力在x，y方向的分量，ΔM_j^w，ΔN_j^w为计入齿宽影响时作用在齿面上的附加力矩。之所以称为准质量阵，为准阻尼阵，为总刚度阵，乃是因为式（4.20）还不是弯扭耦合振动方程的最终形式。这是因为1）：式（4.20）右端含有未知力ΔF_xj^k，ΔF_yj^k，ΔM_j^k，ΔN_j^k，ΔT_j，（k=w，N），方程组中未知量个数多于方程个数；2）：ΔF_xj^k，ΔF_yj^k，ΔM_j^k，ΔN_j^k，ΔT_j，（k=w，N）是本征的。必须解决上述这两个问题，才能得到弯扭耦合振动方程。因而我们还需要寻求一种关系，通过这种关系，解决上述两个问题，使得各转子的弯扭振动及转子间的弯扭振动耦合起来，并使弯扭耦合振动的方程组有定解，即最终使（4.20）式化为如下标准形式

M，C，K分别为弯扭耦合振动方程的总质量阵，总阻尼阵和总刚度阵。

§4.4  弯扭耦合振动模型研究

上两章我们已经对齿轮联轴器接触特性，力学特性进行了分析。从分析中可知齿轮联轴器接触特性，力学特性非常复杂，我们不可能向文献处理外齿轮那样，通过小扰动下的几何关系来得到动态力和力矩，从而导出如式（4.21）标准形式的弯扭耦合振动方程。因为由上章的讨论可知，如果假设齿是刚性，则齿轮轴发生弯曲和扭转振动时，可能发生冲击或导致系统方程的非线性，为了解决这个问题你们采用类似轴承的处理方法，直接把齿轮联轴器在静平衡位置模化为25个刚度系数（其具体的求解如第三章所述），当齿轮联轴器的内外齿在此平衡位置发生微小扰动时认为联轴器的刚度不变，则齿轮联轴器内外齿所受的动态力和力矩可用下式表示：

因此通过联轴器的刚度[K_ij^L]_5×5（由第三章求得）把动态力和力矩表示成内外齿相对位移的显函数，从而得到齿轮联轴器连接轴系的弯曲和扭转振动方程。

§4.4.1  静态平衡位置的确定

从上面的分析可知，齿轮联轴器的内外齿是在某个平衡位置发生微小扰动，因此齿轮联轴器的刚度应是在某一平衡位置处的刚度，其关键是如何确定静态平衡位置。一般由齿轮联轴器连接的多支承轴承的系统中，各轴承的承受载荷及联轴器的附加载荷成为静不定问题，因此我们必须同轴承的负荷分配同时考虑。

方程（4.1a），(4.1b)仍然可以被用来求解轴系的负荷分配，只不过齿时应表在成如下形式：

同样，y方向上有

齿轮联轴器内外齿之间的作用力处理成外力，其中M_x0^p,M_y0^p代表作用在第k个轴段上推力轴承在xz和yz平面内的由正压力P所引起力矩分量；而M_x0, M_y0则表示推力轴承在x和y方向上的油膜力分量，在我处理的系统中没有推力轴承所以M_x0^p,M_y0^p，M_x0,M_y0为零；F_x0^j,F_y0^j则表示由径向轴承所提供的油膜反力；P_g-则为转子及圆盘重力；F_x0^L,F_y0^L，M_x0^L,M_y0^L为齿轮联轴器内外齿所受到的力和力矩。由于径向轴承油膜反力F_x0^j和F_y0^j为x,y的非线性函数，齿轮联轴器内外齿所受到的力和力矩F_x0^L,F_y0^L，M_x0^L,M_y0^L也是内外齿相对位移的函数。因此，要得到齿轮联轴器内外齿的静平衡位置及系统轴承的负荷分配，迭代过程是不可缺少的。

对于系统的全部质点列出方程（4.23），并写成矩阵的形式：

[S]{X}={F}-{P^j}                                          4.24

这时[S]为系统的刚度矩阵，{F}为包括由重力，齿轮联轴器内处齿所受到的力和力矩在内的广义力；{ Pj }为径向轴承提供的油膜反力。{X}为包含（x,y,,ψ）在内的位移向量。

令{x₂}代表径向轴承作用点处的线位移，{x₁}为其余点上的线位移和全部的角位移，其中{x₁}包含齿轮联轴器内外齿的位移，设为{x₁}^L,则方程（4.24）可重新写成：

在方程（4.25）中{F₁}，{F₂}为对应于{x₁},{x₂}的广义力向量，其中也包括了齿轮联轴器内外齿所受到的力和力矩。{P^j}则仅由径向轴承提供的油膜反力组成。当{F₁}，{F₂}和{x₂}已知时，可解得{x₁},{P^j}。

其中{F₁}^（k+1），{F₂}^(k+1)中齿轮联轴器内外齿所受到的力和力矩由式（4.34）得到的{x₁}^(k+1)中齿轮联轴器内外齿的位移代入到第三章中的公式得到。由上面的迭代式可得到齿轮联轴器及轴承的静态平衡位置。

§4.5  系统自由振动特征值问题的求解

对振动和稳定性分析，需要求解形如（4.21）式的特征值问题

（λ²M+λC+K）φ=0                     4.35

由于耦合作用和滑动轴承的转子动力学系数的非对称性，质量阵M、阻尼阵C和刚度阵K都是非对称阵。但这样的转子系统，具有以下两个特点：（i）矩阵M、C、K都是大型带状稀疏矩阵；（ii）在工程上，人们仅对其低阶特征值及特征向量感兴趣。

形如（4.35）式的二次特征值问题可以化为一般的广义特征问题求解，求解一般的广义特征值问题可以用QR方法，Lanczos方法等，但是传统的QR方法将破坏系统的上述两个特点，从而导致需花费大量机时和存储空间，而Lanczos方法应用于非对称问题，其数值稳定性往往很差。所以这两种方法应用于（4.43）那样的系统都不能令人满意。

文献介绍了一种广义逆迭代法，该算法直接在原n阶规模上进行反迭代，而在迭代的同时把系统（4.35）科化为一个小型线性标准特征值问题，算法不涉及复数运算且充分顾及了系统（4.35）的两个特点，该方法不仅适合于对称矩阵系统问题，而且适合于非对称矩阵系统问题，文献等对此都有详细介绍。本文就应用该方法求解系统特征值问题。

§4.6  系统强迫振动响应求解

转子存在外激励时系统的振动方程为：

              4.36

F为广义外激励力，为复数，可统一表示为

F=（F_R+jF_l）e^iw_st            4.37

其中为F_R为实部，为F_l的虚部，ω_s为激振频率，设式（4.36）的解为

X=X₀e^iw_st=(X_R0+jX_l0) e^iw_st            4.38

将式（4.37）和式（4.38）代入式（4.36），按实部、虚部展开并写成矩阵形式，得

利用高期消去法，可得到（4.39）式的解，即X_R0与X_I0，最后可根据响应的实部与虚部，求得响应椭圆的长短轴及相位。

§4.7  小结

1）用集总质量法建立 了齿轮联轴器连接的转子—轴承系统的振动方程。

2）一般模化后的齿轮联轴器的刚度是相对位移的非线性函数，为了得到线性振动方程，引入齿轮联轴器静态平衡位置概念，求出齿轮联轴器静态平衡位置处的刚度，进而得到轴系的弯扭耦合振动方程。

3）齿轮联轴器静态平衡位置的确定要与轴承同时考虑。

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