第五章齿轮联轴器耦合轴系动力学分析及稳定性研究
§5.1 引言
长期以来，齿轮作为一个重要的联结件，其轴系的振动和噪音一直为工程界所关注，由于这些问题和齿传输线动载荷密切相关，所以齿轮动力学研究一个得要内容就是确定轮齿上的动载荷，但是一般都是对外齿轮系统的扭转、弯曲，扭弯耦合振动分析，而作为另一个重要的联接件齿轮联轴器研究很少。从以往对齿轮联轴器的研究来看，大多对其连接的简单轴系的单纯弯曲振动、轴向振动和扭转振动进行研究、而对其轴系的弯扭耦合特性研究却很少，本章在前几章的基础上，对半齿轮联轴器系统的耦合特性进行研究；为了突出齿轮联轴器，忽略支撑的影响，讨论刚性支承齿轮联轴器轴系的系统模态、特征值。揭示了齿轮轴系弯扭耦合振动的特征，并说明齿轮联轴器内外齿相对偏心（转角、径向）是造成齿轮联轴器连接轴系弯扭耦合的主要原因。
最后对某实际DH型透平压缩机齿轮联轴器联接转子系统进行了动力学计算和分析，对于考虑齿轮联轴器与不考虑齿轮联轴器两种情况下对系统的特征值、稳定性进行了计算分析，说明其影响系统固有频率和稳定性的原因。
§5.2 研究对象及系统方程
图5.1所示半齿联轴器系统，本章计处联1轴长a1=600mm、a2=150mm直径d1=30mm、质量G1=8.36kg，极转动惯量I1=30000kgmm，轴2长b1=800mm，b2=100mm直径d2=20mm、质量G2=5.66kg、极转动惯量I2=6300kgmm2，两轴皆为铰友；转子位于轴的中央。齿轮联轴器齿轮模数Mn=2mm齿数Nz=25，齿宽B1=B2=20mm，内齿轮质量为G2=2kg、极转动惯量I2=1000kgmm2，外齿轮质量为G2=1kg、极转动惯量I2=500kgmm2， 鼓形量Rc=155mm、两段轴分别被离散成10个节点，集中质量分别位于第4、7个节点上，传递扭矩T=600Kgmm2按照第三章、第四章求得齿轮联轴器的刚度列出振动方程：M
。
§5.3 齿传输线联轴器耦合对系统因有频率及振型的影响
支承静态标高为零时，表5.1和表5.2分别给出了耦合前一些转速下轴1和轴2前9阶的固有频率，图5.2和图5.3分别是这些固有频率对应的轴1和轴2的振型图，实点表示扭转振型、空心点表示弯曲振型，模坐标代表质点位。从图5.2和图5.3中可以看到，耦合前由于转子弯曲振动与扭转振动是解耦的，所以图中转子的振型要么是纯粹的弯曲振型，要么就是纯粹的扭转振型。
表5.3是耦合系统在同样的转速下，前18阶的固有频率，图5.4是这些固有频率对应的耦合状态下转子的振型；横坐标质点1～10代表轴1、11～20代表轴2；纵坐标为振型；实点表示扭转振型、空心点表示弯曲振型。
将表5.1、表5.2和表5.3进行对比后可以发生，在每一个转速下，耦合后的固有频率变得比较密集，表5.1和表5.2中的固有频率都可以在表5.3中找到与之乎相同的对应值，而且耦合后频率值比耦合前的略高，这主要是因齿轮联轴的加入，相当于给系统增加了约束。观察这些固有频率对应的振型，凡表5.3与表5.1中相接近的固有频率，在耦合状态下，系统振型轴1的主振动的成分占主要地位，例如图5.4中mode3、mode16对应图5.2的mode3、mode5；凡表5.3与表5.2中相接近的固有频率，在耦合状态下，系统振型轴2的主振动成分占主要地位，只有很小的轴1成分，而且振型形状也和耦合前形态基本相同，例如图5.4中mode1、5、6、14、17对应图5.3的mode1、2、3、6、7等；这说明齿轮联轴器耦合对这些固有频率和振型影响很小。
但是，另外我们可以发现，在表5.3中出现了许多表5.1和表5.2中所没有的新的固有频率如λ4co，λ7co，λ8co，λ11co，λ12co，λ13co，观察这些因有频率所对应的振型，可以发现，它们对应又可分为三种，1.纯的弯曲耦合振型λ7co，λ8co对应振型图5.4中mode7、8；2.纯的扭转耦合振型λ4co，λ13co对应振型图5.4中mode4、13；3.弯扭振型相迭加的复振型——弯扭耦合振型λ11co，λ12co对应振型图5.4中mode11、12。这种弯耦合振型是由于齿轮联轴器的耦合作用而新产生的，这是齿轮轴系统区别于一般单转子系统的重要特征之一，由于弯扭耦合模态的产生，决定了轴系统的振动是弯扭耦合振动。
表5.1 耦合前轴1特征值（λiun无量纲）
| 转速（rpm）λiun |
λ1un |
λ2un |
λ3un |
λ4un |
λ5un |
λ6un |
λ7un |
λ8un |
λ9un |
| 300． |
13.312 |
46.964 |
97.788 |
99.119 |
118.030 |
233.320 |
276.730 |
378.57 |
509.21 |
| 600． |
6.655 |
23.455 |
48.565 |
49.895 |
59.017 |
116.610 |
138.260 |
189.280 |
254.350 |
| 900. |
4.436 |
15.618 |
32.158 |
33.489 |
39.345 |
77.703 |
92.107 |
126.190 |
169.400 |
| 1200. |
3.327 |
11.700 |
23.956 |
25.286 |
29.509 |
58.250 |
69.030 |
94.642 |
126.930 |
| 1500. |
2.661 |
9.348 |
19.036 |
20.366 |
23.607 |
46.579 |
55.184 |
75.714 |
101.440 |
| 1800. |
2.217 |
7.781 |
15.757 |
17.086 |
19.672 |
38.798 |
45.954 |
63.095 |
84.452 |
| 2100. |
1.900 |
6.661 |
13.415 |
14.744 |
16.862 |
33.241 |
39.362 |
54.081 |
72.316 |
| 2400. |
1.662 |
5.821 |
11.659 |
12.988 |
14.754 |
29.073 |
34.418 |
47.321 |
63.214 |
横坐标为质点，纵坐标为振型。
表5.2 耦合前轴2特征值（λiun无量纲）
| 转速（rpm）λiun |
λ1un |
λ2un |
λ3un |
λ4un |
λ5un |
λ6un |
λ7un |
λ8un |
λ9un |
| 300． |
4.848 |
29.074 |
55.516 |
75.593 |
96.667 |
148.060 |
245.010 |
268.190 |
298.310 |
| 600． |
2.424 |
14.828 |
27.662 |
37.796 |
48.301 |
73.776 |
122.490 |
133.990 |
149.160 |
| 900. |
1.616 |
9.869 |
18.378 |
25.198 |
32.179 |
49.016 |
81.649 |
89.262 |
99.437 |
| 1200. |
1.212 |
7.390 |
13.735 |
18.898 |
24.118 |
36.637 |
61.229 |
66.898 |
74.578 |
| 1500. |
0.969 |
5.902 |
10.950 |
15.119 |
19.281 |
29.211 |
48.977 |
53.480 |
59.662 |
| 1800. |
0.808 |
4.910 |
9.092 |
12.599 |
16.056 |
24.261 |
40.809 |
44.536 |
49.719 |
| 2100. |
0.692 |
4.201 |
7.766 |
10.799 |
13.753 |
20.727 |
34.975 |
38.147 |
42.616 |
| 2400. |
0.606 |
3.670 |
6.771 |
9.449 |
12.026 |
18.076 |
30.599 |
33.356 |
37.289 |
横坐标为轴2离散质点。纵坐标为振型。
表5.3 无标高耦合系统特征值（λico无量纲）
| 转速（rpm）λico |
λ1co |
λ2co |
λ3co |
λ4co |
λ5co |
λ6co |
λ7co |
λ8co |
λ9co |
| 300． |
6.785 |
6.804 |
16.913 |
19.941 |
51.492 |
51.938 |
72.781 |
75.240 |
94.718 |
| 600． |
3.393 |
3.402 |
8.457 |
9.970 |
25.644 |
26.070 |
36.377 |
37.627 |
47.263 |
| 900. |
2.262 |
2.268 |
5.638 |
6.647 |
17.026 |
17.449 |
24.236 |
25.093 |
31.442 |
| 1200. |
1.696 |
1.701 |
4.228 |
4.985 |
12.716 |
13.138 |
18.162 |
18.827 |
23.530 |
| 1500. |
1.357 |
1.361 |
3.383 |
3.988 |
10.131 |
10.552 |
14.514 |
15.069 |
18.781 |
| 1800. |
1.131 |
1.134 |
2.819 |
3.323 |
8.407 |
8.827 |
12.080 |
12.565 |
15.613 |
| 2100. |
0.969 |
0.972 |
2.416 |
2.849 |
7.175 |
7.595 |
10.339 |
10.777 |
13.350 |
| 2400. |
0.848 |
0.851 |
2.114 |
2.493 |
6.251 |
6.671 |
9.032 |
9.436 |
11.651 |
续表5.3无标高耦合系统特征值（λico 无量纲）
| 转速（rpm）λico |
λ10co |
λ11co |
λ12co |
λ13co |
λ14co |
λ15co |
λ16co |
λ17co |
λ18co |
| 300． |
95.077 |
103.410 |
105.040 |
106.930 |
147.710 |
148.750 |
234.320 |
244.950 |
268.230 |
| 600． |
47.623 |
51.555 |
52.693 |
53.463 |
73.602 |
74.639 |
117.150 |
122.480 |
134.080 |
| 900. |
31.802 |
34.252 |
35.272 |
35.642 |
48.899 |
49.936 |
78.098 |
81.651 |
89.354 |
| 1200. |
23.890 |
25.598 |
26.572 |
26.732 |
36.549 |
37.586 |
58.567 |
61.238 |
66.975 |
| 1500. |
19.142 |
20.406 |
21.357 |
21.386 |
29.141 |
30.177 |
46.848 |
48.990 |
53.527 |
| 1800. |
15.975 |
16.947 |
17.820 |
17.885 |
24.202 |
25.238 |
39.033 |
40.825 |
44.507 |
| 2100. |
13.713 |
14.478 |
15.275 |
15.407 |
20.675 |
21.712 |
33.449 |
34.992 |
37.619 |
| 2400. |
12.015 |
12.627 |
13.365 |
13.5550 |
18.031 |
19.067 |
29.259 |
30.618 |
31.890 |
我们从振型图5.4中还可以看出，在支承静态标高为零，其耦合后纯的弯曲耦合模态、纯的扭转耦合模态比较明显；而弯扭振型相迭加的复合振型——弯曲耦合模态很不明显。这主要因为齿轮联轴器连接的两段轴对中性很好时，齿轮联同器靠自身的重果和转子的重量引起的内外的向对位移非常小，齿轮联轴器扭转和弯曲交叉刚度非常小，其数值如表5.4。这可以把联轴器看成是一个轴段来处理这是一个弯扭解耦模型，在以往计算中一般都采用当量轴段来代替齿轮联轴器。但这是在支承对中性很好的情况下的处理方法，下面我们在支承有一定静态标高下讨论齿轮联轴器弯扭效应。
表5.4齿轮联轴器刚度（K无量纲）
| |
|
X |
Y |
φ |
ψ |
θ |
| K |
x |
0.2748 |
-1.939e-4 |
5.207e-5 |
1.654e-3 |
-8.078e-3 |
| K |
y |
-1.939e-4 |
0.2751 |
1.568e-2 |
5.207e-5 |
-3.817e-3 |
| K |
φ |
5.207e-5 |
1568e-2 |
5.148e-3 |
-1.067e-5 |
1.031e-3 |
| K |
ψ |
-8.078e-3 |
-3.817e-3 |
-1.067e-5 |
5.131e-3 |
2.192e-3 |
| K |
θ |
-8.078e-3 |
-3.817e-3 |
1.031e-3 |
2.192e-3 |
0.7058 |
§5.4齿轮联轴器内外齿轮不对中对系统固有频率振型的影响
我们取靠近联轴器的两个支承的静态标高分别为：x1=0.0mm,y1=0.1mm,x2=0.0mm,y2=0.1mm,使联轴器的内外齿轮存在一定静态相对位移。表5.5是有静态标高下耦合系统在表5.1、5.2同样转速下前18阶的固有频率，图5.5是这些固有频率对应的耦合状态下转子的振型；横坐标质点1～10代表轴1，质点点11～20代表轴2；纵坐标为振型，实点表示扭转振型、空心点表示弯曲振型。
将表5.1、表5.2和表5.5进行对比后可以发现，在每一个转速下，耦合后的固有频率变得比较密集，除与静态标高为零时相同的性质外，其出现了许多表5.1和表5.2、5.4中没有的新的固有频率其对应的弯扭振型相迭加的复合振型—弯扭耦合振型，如表5.5中固有频率λ8co、λ10co、λ11co、λ12co、λ14co、λ15co、λ18co对应振型其振型比较复杂图5.5中mode8、10、11、12、14、15、18等，同时我
表5.5 有标高耦合系统特征值（λico无量纲）
| 转速（rpm）λico |
λ1co |
λ2co |
λ3co |
λ4co |
λ5co |
λ6co |
λ7co |
λ8co |
λ9co |
| 300． |
5.892 |
6.777 |
16.657 |
17.070 |
19.270 |
30.101 |
38.613 |
51.768 |
57.107 |
| 600． |
2.946 |
3.389 |
8.328 |
8.539 |
9.639 |
15.051 |
19.305 |
25.876 |
28.562 |
| 900. |
1.964 |
2.259 |
5.552 |
5.693 |
6.426 |
10.034 |
12.869 |
17.241 |
19.050 |
| 1200. |
1.473 |
1.694 |
4.164 |
4.269 |
4.819 |
7.525 |
9.650 |
12.922 |
14.297 |
| 1500. |
1.178 |
1.355 |
3.331 |
43.415 |
3.855 |
6.020 |
7.718 |
10.328 |
11.447 |
| 1800. |
0.982 |
1.130 |
2.776 |
2.846 |
3.213 |
5.017 |
6.430 |
8.597 |
9.549 |
| 2100. |
0.842 |
0.968 |
2.379 |
2.440 |
2.754 |
4.300 |
5.510 |
7.359 |
8.194 |
| 2400. |
0.736 |
0.847 |
2.082 |
2.135 |
2.410 |
3.763 |
4.819 |
6.430 |
7.179 |
续表5.5 有标高耦合系统特征值（λico无量纲）
| 转速（rpm）λico |
λ10co |
λ11co |
λ12co |
λ13co |
λ14co |
λ15co |
λ16co |
λ17co |
λ18co |
| 300． |
71.181 |
88.041 |
94.961 |
97.042 |
103.240 |
120.830 |
147.860 |
148.980 |
233.930 |
| 600． |
35.585 |
43.990 |
47.487 |
48.520 |
51.644 |
60.427 |
73.687 |
74.743 |
116.760 |
| 900. |
23.717 |
29.294 |
31.666 |
32.347 |
34.455 |
40.298 |
48.959 |
50.002 |
77.906 |
| 1200. |
17.781 |
21.937 |
23.756 |
24.260 |
25.868 |
30.237 |
36.596 |
37.634 |
58.459 |
| 1500. |
14.218 |
17.517 |
19.011 |
19.408 |
20.720 |
24.203 |
29.179 |
30.215 |
46.780 |
| 1800. |
11.841 |
14.566 |
15.848 |
16.173 |
17.293 |
20.184 |
24.234 |
25.269 |
38.987 |
| 2100. |
10.142 |
12.455 |
13.589 |
13.864 |
14.847 |
17.315 |
20.704 |
21.738 |
33.417 |
| 2400. |
8.867 |
10.869 |
11.894 |
12.132 |
13.015 |
15.165 |
18.056 |
19.089 |
29.238 |
们还可以看出，系统弯扭耦合成分罗内外齿对中时明显；同时我们从振型中还可以发现一些以原来耦合前固有振型为主要成分同时夹杂少量的弯扭耦合的成分振型如图5.5中mode1、4、13、16分别对应耦合前轴2mode1、轴1mode1、轴2mode5、mode7。
弯扭耦合现象变得明显的原因主要可能是：静态标高的存在使联轴器交叉刚度相对增加，尤其是与抟转方向交叉刚度，如表5.6是耦合后联轴器的刚度，其中与扭转方向的交叉刚度有所增加。
表5.6齿轮联轴器刚度（K无量纲）
| 刚度 |
|
X |
Y |
φ |
ψ |
θ |
| K |
x |
0.64103 |
-9.087e-5 |
4.7487e-4 |
2.460e-4 |
-1.29e-3 |
| K |
y |
-9.087e-5 |
0.1312 |
1.131e-3 |
4.748e-4 |
0.1775 |
| K |
φ |
4.7487e-4 |
1.131e-3 |
2.385e-5 |
-5.009e-5 |
1.402e-3 |
| K |
ψ |
2.460e-4 |
4.748e-4 |
-5.009e-5 |
1.1672e-3 |
8.3585e-4 |
| K |
θ |
-1.29e-3 |
0.1775 |
1.402e-3 |
8.3585e-4 |
0.2507 |
上一页
下一页
