5-3  用SSGILM法计算带有非线性联轴器轴系稳态响应

为了求得未知向量{a}，还需做以下工作：

一、向量函数{r（{ a^（k）}）}的计算

要计算{r（{ a^（k）}）}的值，首先需要求得频域向量{q({a^(k)})}和{f_J({a^(k)})}的值。

1．{q({a^(k)})}的计算

{q({a^(k)})}为联轴器恢复力（，，，τ）的傅立叶级数展开式各简谐分量的系数向量。对于给定的{ a^（k）}，不能由时域表达式（，，，τ）求得频域内的{q（{ a^（k）}）}，而必须按以下步骤计算。

首先，由给定的频域向量{q（{ a^（k）}）}，根据傅立叶展开式（5-13）求得，在一个周期内的N个时域离散值，记为Y（1）～Y（N）和DY（1）～DY（N），其次，由下式求得的幅值

然后，将以及，的时域离散值代入第三章中得到的恢复力（，，，τ）的表达式（3-8）、（3-12）、（3-27）和（3-41）式，算得对应于{ a^（k）}的恢复力Q在一个周期内N个时域离散值，再对这N个Q的时域离散值进行FFT变换，即可得到非线性恢复力Q在频域内的各谐波分量的系数向量{q（{ a^（k）}）}

2. {f_j（{ a^（k）}）}的计算

{f_j（{ a^（k）}）}是式（5-6）中恢复力F_j的傅立叶级数展开式各谐波分量的系数向量。当向量{ a^（k）}给定时，首先由5-2节中所述方法 算得各个和（j=1，2，…，n），其次由（5-6）式中恢复力F_j的表达式算得一个周期内的时域离散值，然后对这些离散值进行FFT变换，即可得到频域中Fj的各谐波分量的系数向量{f_j（{ a^（k）}）}。

算得{q（{ a^（k）}）}和{f_j（{ a^（k）}）}后，代入（5-15）式即可得到{r（{ a^（k）}）}。

二、雅可比矩阵[J（{ a^（k）}）]的计算

为计算方便起见，将雅可比矩阵式（5-21）分解成三个矩阵：

[J（{ a^（k）}）]=[J₁]+[J₂]+[J₃]                （5-30）

1.[J₁]的计算

由（5-15）和（5-21）式可得：

        [J₁]=

[J₂]的计算实际上就是对{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的计算。由于恢复力Q的函数表达式是{ a^（k）}的隐函数，因此不可能由Q的表达式直接进行FFT变换来求得{q（{ a^（k）}）}，也可能由{q（{ a^（k）}）}直接对{ a^（k）}；求偏导数来得到[J₂]，可采用以下方法来计算[J₂]：

由第三章中的式（3-8）、（3-12）、（3-41）和本章中的式（5-13）可得：

式中，/，，/，，/可以直接由Q的表达式和（5-13）进行解析计算得到，/{ a^（k）}，/{ a^（k）}也可以由（5-13）式直接进行解析计算得到。而/{ a^（k）}的计算须用微商的方法来进行计算，即对一个给定的{ a^（k）}，选取增量△{ a^（k）}，然后计算一个周期内对应的（{ a^（k）}+△{ a^（k）}）和（{ a^（k）}）值，得：

由（5-32）式算得/{ a^（k）}的时域离散值后，进行FFT变换即可得到频域中的{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}。

3. [J₃]的计算

[J₃]的计算实际上就是偏导数{f_j（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的计算。计算方法与计算{q（{ a^（k）}）}的方法类似，故不再赘述。对于[J₂]，[J₃]、分别有式（5-34）、（5-35）。

在计算出{r（{ a^（k）}）}和{J（{ a^（k）}）}之后，就可以按5-2节中发展的ILM法进行搜索迭代计算，由初始向量{a^（0）}不断搜索逼近满足精度要求的{ a^（k+1）}，然后代入（5-10）、（5-11）、（5-12）和（5-7）即可求得联轴器从动端质量块m_b的稳态响应y_b以及轴系中各圆盘转子稳态应Y。同时还可以得到对应的幅频图。

5-4  小结

本章对带有非线性联抽器的n+1个自由度轴系在圆盘质量偏心产生的激励力作用下稳态响应计算方法进行了研究，以GLM法为基础，提出了一种称为SSGILM (Separate System-Ga1erkin and Imp-r0ved Leenberg-Marquardt的方法，用于计算局部具有非线性特性轴系的稳态响应。

主要工作如下：

1.建立带有非线性联铀器n+1个自由度轴系的力学模型和数学模型，为了求解这种局部含有非线性元件的轴系的稳态响应，将轴系分成两个子系统，即含有n个自由度的线性轴系和含有非线性变参数的联轴器子系统。

2.对线性轴系子系统运动微分方程组用正则坐标变换进行解藕处理；对非线性变参数的联轴器子系统运动微分方程用Galerkin法，变成一组隐含系数向量{a}的非线性代数方程组。

3.针对LM法的缺点，采用已有的选择合适μ值的方法和加快收敛速度的算法对LM法进行了改进，用改进算法对上面得到的非线性方程组中的未知向量{a}进行搜索计算，最后解出局都具有非线性特性轴系的稳态响应。

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